Obtener la densidad de estados para fotones.

Sé que la densidad de estados$g(\epsilon)d\epsilon$es el número de estados en el rango de energía$[\epsilon, \epsilon + d\epsilon]$.

Consideré un sistema de fotones libres que no interactúan en 3 dimensiones.

Para calcular la densidad de estados solo necesitamos:

1) La energía de nuestro sistema. En este caso estamos tratando con la energía de los fotones, entonces:

$$\epsilon = \hbar \omega$$

2) El número de estados con energía $\le \epsilon$(vamos a llamarlo$N(\epsilon))$. Como se consideran 3 dimensiones, el número de estados se encierra en una esfera:

$$N(\epsilon) = \frac{4}{3} \pi R^3$$

Ahora necesito tener el radio R en función de la energía para poder calcular la densidad de estados:

$$g(\epsilon) = \frac{dN}{d\epsilon}$$

Como consideré un fotón libre, su impulso es:

$$p = \hbar k$$

$$p = \frac{h}{L} (n_x + n_y + n_z)$$

Entonces, la energía se puede reescribir como:

$$\epsilon (n_x, n_y, n_z) = \frac{p \omega}{k} = \frac{hc}{L}(n_x + n_y + n_z)$$

Esta expresión debería ser correcta (revisé las dimensiones), pero no es función del radio.

Pero sospecho que$(n_x + n_y + n_z)$tiene algo que ver con una figura geométrica, que encierra el número de estados...

Ahora trabajo con otro ejemplo, completamente independiente del anterior.

COMPARACIÓN CON OTRO CASO PARA VER QUÉ ESTÁ PASANDO

De hecho probé si$(n_x + n_y + n_z)$tenía algo que ver con el radio de una esfera (asumí 3D) usando el caso de la partícula libre (sin efectos relativistas):

$$\epsilon = \frac{p^2}{2m}$$

Para la energía, obtuve:

$$\epsilon (n_x, n_y, n_z) = \frac{h^2}{2mL^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$$

En este punto, tuve el siguiente pensamiento:

$$(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) = R^2$$

Y lo intenté... y terminé obteniendo la densidad correcta de estados para la partícula libre (también ignoré el giro ya que solo se trata de multiplicar la respuesta final por un número).

Entonces yo diría que $(n_x + n_y + n_z)$ tiene algo que ver con el radio.

En resumen, tengo los siguientes problemas :

1') ¿Cómo puedo obtener el radio de esta ecuación?$\epsilon (n_x, n_y, n_z) = \frac{p \omega}{k} = \frac{hc}{L}(n_x + n_y + n_z)$? Técnicamente no puedo hacer$(n_x + n_y + n_z) = R$. De hecho, lo probé pero no lo obtuve (al final de mi publicación he escrito la densidad de estados que debo obtener).

2') En el$\epsilon = \frac{p^2}{2m}$caso tengo:

$$\epsilon (n_x, n_y, n_z) = \frac{h^2}{2mL^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) = \frac{h^2 R^2}{2mL^2}$$

¡Pero esta expresión no tiene dimensiones de energía! Quiero decir, si considero$(n_x, n_y, n_z)$como eje de mi espacio de fase no tengo problemas con las dimensiones, pero una vez que considero$(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)= R^2$las dimensiones no coinciden en la ecuación para la energía anterior... ¡pero obtengo el resultado correcto! ¿que esta pasando aqui?

3) Por qué la dimensión de la densidad de estados es el tiempo en fotones y en el caso de las partículas libres (asumiendo la mecánica cuántica no relativista) es$\frac{T^2}{ML^2}$?

Sé que la densidad de estados de fotones libres (asumiendo la energía de Plank; ver Griffiths, página 244; EQ 5.112; segunda edición):

$$g(\omega) = \frac{V \omega^2}{\pi c^3}$$

Cualquier ayuda es apreciada.