¿Qué significa dividir por la degeneración del estado en este extracto de libro de texto?

Las fórmulas en Griffiths son correctas, pero la explicación es bastante torpe, porque básicamente hizo la derivación 'al revés'. Para simplificar, solo hablaré sobre el caso de partículas distinguibles, pero los demás son similares.

La derivación en la dirección directa se ve así: la distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución que maximiza la entropía dada la energía fija. Aquí, la entropía se define como

$$S \sim \sum p_i \log p_i$$ y el $p_i$son las probabilidades de ocupación de cada estado (¡no de cada nivel de energía!). Si lleva a cabo la optimización restringida, utilizando un método similar al de Griffiths, llegará a la ecuación 5.103.

Ahora bien, la probabilidad de ocupación de un estado sólo depende de su energía. Digamos que la probabilidad de ocupación de un estado en alguna energía es$p_n = 1/2$, y la degeneración es$d_n = 10^6$. Entonces, por la ley de los grandes números, la ocupación total$N_n$de todo este nivel de energía estará muy cerca de$p_n d_n = (1/2) 10^6$. La ocupación ciertamente podría ser mayor o menor, pero la distribución de probabilidad tendrá un pico alrededor de este valor central.

El único problema con este enfoque es que la definición de$S$es un poco poco intuitivo. Entonces, en cambio, Griffiths trabaja solo con números de ocupación$N_n$, por lo que simplemente puede "contar el número de formas" para lograr esos números en lugar de lidiar con las probabilidades$p_n$. Luego, implícitamente toma la alta$d_n$límite, por lo que$N_n \approx p_n d_n$, y calcula$p_n = N_n / d_n$.

La altura$d_n$límite es necesario para que la probabilidad estimada por este cociente sea exacta. Por ejemplo, si$p_n = 2/3$pero$d_n = 10$, el número de ocupación más probable podría ser$N_n = 7$. Entonces dividiendo daría la aproximación$p_n \approx 0.7$. Para nuestro valor calculado de$p_n$para ser bueno, debemos tomar$d_n$hasta el infinito.

Un último punto turbio es que Griffiths accidentalmente llama a las probabilidades$p_n$"los números de ocupación más probables de un estado", aunque esto no tiene sentido porque$p_n$ni siquiera es un número entero, es una probabilidad entre$0$y$1$. Esta redacción torpe se debe a que Griffiths ha barrido todo el lenguaje de probabilidad debajo de la alfombra a favor de los números de ocupación, pero simplemente no es correcto.