Cálculo cuántico versus clásico de la densidad de estados

Para partículas en un potencial 1-D$V(x)$, podemos conectar el volumen del espacio de fase al número de estados cuánticos a través de la aproximación WKB. Bajo los supuestos habituales de WKB, se puede demostrar (ver, por ejemplo, Liboff o Griffiths) que para tener una función de onda bien definida debemos tener

$$\int_{x_1}^{x_2} p(x,E) \, dx = \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{h}{2},$$ dónde$n$es un entero,$p(x,E) = \sqrt{ 2m(E - V(x))}$, y$x_1$y$x_2$son los clásicos puntos de inflexión para la energía$E$(es decir,$V(x_1) = V(x_2) = E$.) Las curvas$\pm p(x,E)$son, por supuesto, las curvas que la partícula tomaría en el espacio de fase clásicamente; y así el área encerrada por la trayectoria clásica (cerrada) en el espacio de fase debe ser$(n+ \frac{1}{2}) h$por algún entero$n$.

Considere ahora todos los estados entre$n$y$n + \Delta n$. Estos estados abarcan un rango de energía entre$E$y$E + \Delta E$. El área entre estas curvas es el volumen permitido de espacio de fase con energías entre$E$y$E + \Delta E$; y esta es obviamente la diferencia entre las áreas correspondientes encerradas por la energía-$E$curva y la energía-$E + \Delta E$curva

$$\int_{[E, E + \Delta E]} dp \, dx = \left( n + \Delta n + \frac{1}{2} \right) h - \left( n + \frac{1}{2} \right) h = (\Delta n) h.$$ Esta es el área sombreada en el diagrama de arriba. Pero por las condiciones de cuantificación de WKB, simplemente hay$\Delta n = \Omega(E; \Delta E)$estados en este rango de energía. De este modo, $$\Omega(E; \Delta E) = \frac{1}{h} \int_{[E, E + \Delta E]} dp \, dx$$ como se esperaba.

Podría ser posible generalizar esto a sistemas en dimensiones superiores, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con las versiones de dimensiones superiores de estas reglas de cuantización para estar seguro.

Bueno, hay una razón en este caso de partículas que no interactúan: es el llamado "límite termodinámico" . Pero puedo responder a esta pregunta sin invocar el límite termodinámico.

Una manera muy simple de ver esto es usando$h$. Sabemos$h \ll 1$entonces$P = h^{-N}$para$N \gg 1$Te regalaré$P \gg 1$. Y en algún límite grande de la cantidad de partículas, puede establecer efectivamente$P \rightarrow \infty$es decir$h \rightarrow 0$, lo que le da el límite clásico (Esto se debe a que establecer$h = 0$te da una teoría clásica).

Un enfoque integral de trayectoria podría proporcionar una conexión. Comencemos con el problema de la mecánica cuántica y luego mostremos cómo se puede tomar el límite clásico. Tenemos$N$, posiblemente interactuando, partículas. Sea la posición del$i$-ésima partícula ser$\pmb{x}_i$, podemos escribir la función de partición como,

$$Z = \int \prod_i d\pmb{x}_i \int\prod_i D\pmb{x}^\prime_i(t) \ \exp\left[-\frac{1}{\hbar}\int_0^{\beta\hbar} \sum_i \left[\frac{m}{2} \dot{\pmb{x}}^{\prime 2}_i + V_{\text{ext}}(\pmb{x}^\prime_i) \right] + \sum_{i>j}V(|\pmb{x}^\prime_i - \pmb{x}^\prime_j|) \ d\tau \right].$$ Aquí$d\pmb{x}_i = dx_i dy_idz_i$, y$D\pmb{x}_i(t)$es la medida de la integral de trayectoria. En esta integral, todos los caminos comienzan y terminan en la misma posición, es decir$\pmb{x}_i(0) = \pmb{x}_i(\beta\hbar)$, para todos los caminos.

En el límite clásico$\beta\hbar$es pequeño. En este límite, la partícula no tiene suficiente tiempo para alejarse mucho de donde comenzó en la integral de trayectoria. La razón de esto es el término de energía cinética en el Lagrangiano, este término hace que los caminos con velocidades muy altas no contribuyan mucho a la integral, y por pequeñas$\beta\hbar$, las trayectorias con velocidades no muy altas no se alejan mucho de su punto de partida. Con esta aproximación, podemos tratar los potenciales como constantes y sacarlos de la integral.

$$Z = \int \prod_i d\pmb{x}_i \ \exp\left[-\beta \left(\sum_i V_{\text{ext}}(\pmb{x}_i) + \sum_{i>j}V(|\pmb{x}_i - \pmb{x}_j|) \right) \right] \int\prod_i D\pmb{x}^\prime_i(t) \ \exp\left[-\frac{1}{\hbar}\int_0^{\beta\hbar} \sum_i \frac{m}{2} \dot{\pmb{x}}^{\prime 2}_i \ d\tau \right].$$

Lo que queda de la integral de trayectoria es solo un montón de partículas libres. Te ahorraré los detalles y el uso,

$$\int D\pmb{x}(t) \ \exp\left[-\frac{1}{\hbar}\int_0^{\beta\hbar} \sum_i \frac{m}{2} \dot{\pmb{x}}^2 \ d\tau \right] = \left(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta}\right)^{3/2},$$ para caminos que comienzan y terminan en la misma posición. La función de partición entonces se convierte en, $$Z = \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3N/2} \int \prod_i d\pmb{x}_i \ \exp\left[-\beta \left(\sum_i V_{\text{ext}}(\pmb{x}_i) + \sum_{i>j}V(|\pmb{x}_i - \pmb{x}_j|) \right) \right].$$

Ahora puedo usar lo siguiente,

$$\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3N/2} = \frac{1}{h^{3N}}\int\prod_i d\pmb{p}_i \exp\left[-\beta\frac{\pmb{p}_i^2}{2m} \right]$$ para escribir la función de partición como, $$Z = \frac{1}{h^{3N}} \int \prod_i d\pmb{p}_i d\pmb{x}_i \ \exp\left[-\beta \left(\frac{\pmb{p}_i^2}{2m} + \sum_i V_{\text{ext}}(\pmb{x}_i) + \sum_{i>j}V(|\pmb{x}_i - \pmb{x}_j|) \right) \right].$$ Esta no es más que la expresión clásica para la función de partición. En la mecánica clásica, la función de partición se define hasta una constante, sin embargo, tomando este límite clásico, sabemos cuál es esa constante. Siempre que hay una suma de todos los estados en la mecánica clásica, tenemos$\frac{1}{h^{3N}} \int \prod_i d\pmb{p}_i d\pmb{x}_i$. Puede leer más sobre esto en el libro Path integrals in Quantum Mechanics de Feynman y Hibbs, tienen una sección sobre mecánica estadística.