Resolviendo el campo vectorial electromagnético usando el Lagrangiano

Question

Resolviendo el campo vectorial electromagnético usando el Lagrangiano

titanio

Dada una acción de la forma

S = - \frac{1}{4} \int d^{4} X η^{m v} η^{λ ρ} F_{m λ} F_{v ρ}

$\begin{equation}S=-\frac{1}{4}\int d^4x\eta^{\mu\nu}\eta^{\lambda\rho}F_{\mu\lambda}F_{\nu\rho}\end{equation}$

dónde $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ , $\eta_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}/a^2(\eta)$ , dónde $g_{\mu\nu}$ viene dada por el elemento de línea:

d s^{2} = a^{2} (η) [d η^{2} - (d X^{i})^{2}]

$\begin{equation}ds^2=a^2(\eta)[d\eta^2-(dx^i)^2]\end{equation}$

me gustaria resolver $A_{\mu}$ , y la solución estándar es

A_{m}^{(α)} = {mi}_{m}^{(α)} {mi}^{i k_{v} X^{v}} .

$\begin{equation}A_{\mu}^{(\alpha)}=e_{\mu}^{(\alpha)}e^{ik_\nu x^\nu}.\end{equation}$

Estoy interesado en saber cómo derivar este resultado.

Mi enfoque es primero escribir el Lagrangiano a partir de la acción y usar EL eq

\frac{\partial L}{\partial A_{m}} - \frac{d}{d X^{v}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} A_{m})} = 0

$\begin{equation}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}-\frac{d}{d x^{\nu}}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}A_{\mu})}=0\end{equation}$

Mi principal problema es la dificultad matemática para evaluar el EL eq. ¿Puede alguien por favor ayudarme en esto?

danu

¿Está trabajando con QFT en un espacio-tiempo curvo? En ese caso, el elemento de volumen es

d^{4} x \sqrt{- g}

$d^4x\sqrt{-g}$ dónde

g

$g$ es el determinante de la métrica (este es 1 si la métrica es solo Minkowski).

Respuestas (1)

Resolviendo el campo vectorial electromagnético usando el Lagrangiano

¿Está trabajando con QFT en un espacio-tiempo curvo? En ese caso, el elemento de volumen es $d^4x\sqrt{-g}$ dónde $g$ es el determinante de la métrica (este es 1 si la métrica es solo Minkowski).

jamals · Answer 1

La acción de un campo electromagnético en un espacio curvo viene dada por,

S = - \frac{1}{4} \int d^{4} X \sqrt{| gramo |} F_{m v} {gramo}^{m λ} {gramo}^{σ v} F_{λ σ}

$S=-\frac{1}{4}\int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{|g|} \, F_{\mu\nu}g^{\mu\lambda}g^{\sigma \nu}F_{\lambda \sigma}$

para una métrica genérica, $g_{\mu\nu}$ - observe que el elemento de volumen correcto es con $\sqrt{|g|}$ . Las ecuaciones de movimiento o, de manera equivalente, las ecuaciones de Euler-Lagrange son,

\partial_{v} (\sqrt{| gramo |} F^{m v}) = 0

$\partial_\nu \left( \sqrt{|g|}F^{\mu\nu}\right)=0$

en el vacío, donde hemos optado por ocultar los factores adicionales de la métrica elevando el índice del tensor de intensidad de campo. En su pregunta, su solución es una onda plana , para $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ . Si desea trabajar en el fondo de espacio-tiempo que proporcionó,

d s^{2} = a (t)^{2} [d t^{2} - d X^{2} - d y^{2} - d z^{2}]

$\mathrm{d}s^2 = a(t)^2 \left[ \mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2\right]$

debe elevar los tensores con esa métrica e incluir el factor de volumen. En tu caso la acción se convierte en,

S = - \frac{1}{4} \int d^{4} X a (t)^{4} F_{m v} {gramo}^{m λ} {gramo}^{σ v} F_{λ σ}

$S = -\frac{1}{4}\int \mathrm{d}^4x \, \, a(t)^4 \, F_{\mu\nu}g^{\mu\lambda}g^{\sigma \nu}F_{\lambda \sigma}$

\partial_{v} (a (t)^{4} F^{m v}) = 0 ⟹ \partial_{i} F^{m i} = - (\partial_{0} + \frac{4 \dot{a} (t)}{a (t)}) F^{m 0}

$\partial_\nu \left( a(t)^4 F^{\mu\nu}\right)=0 \quad \implies \partial_i F^{\mu i}=-\left(\partial_0+\frac{4\dot{a}(t)}{a(t)} \right)F^{\mu 0}$

dónde $F^{\mu\nu}$ se eleva con su métrica curva.

Pero, esto realmente no resuelve el problema. Y no estoy seguro si la ecuación EL que escribiste es correcta.
@titanium: Las ecuaciones de movimiento que escribí son correctas; el resultado es trivial y se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre teoría de campos en el espacio curvo. Ahora, con respecto a la solución que tiene, es solo una onda plana, en realidad resuelve las ecuaciones en el espacio plano de Minkowski, así que simplemente conéctelo y verifique.
@titanium: si lo prefiere, puede escribirlos como $\nabla_{\mu}F^{\mu\nu}=0$ , con una derivada covariante y complementada con la identidad de Bianchi, pero es esencialmente lo mismo que escribí.

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titanio

danu

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titanio

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