¿Cómo resolver la ecuación de Schrödinger con campo magnético?

Si$A$no es un calibre puro, o más débilmente si$\nabla \times A \neq 0$, entonces es falso que

$$\nabla_r \int_{r_0}^r A(r')\cdot dr' = A(r)\tag{0}$$ Sin este resultado, por inspección directa ve que su declaración es falsa. De lo contrario es cierto. La demostración es fácil, es la generalización directa de esta identidad elemental $$\left(-i\frac{d}{dx} + f(x)\right) \psi(x) =-ie^{+i \int^x_0 f(y) dy} \frac{d}{dx} e^{-i \int^x_0 f(y) dy}\psi(x) \tag{1}\:.$$ De (1), implementando una vez más la identidad que tienes $$\left(-i\frac{d}{dx} + f(x)\right) \left(-i\frac{d}{dx} + f(x)\right) \psi(x) =(-i)^2e^{+i \int^x_0 f(y) dy} \frac{d}{dx} e^{-i \int^x_0 f(y) dy} e^{+i \int^x_0 f(y) dy} \frac{d}{dx} e^{-i \int^x_0 f(y) dy}\psi(x)\:,$$ eso es $$\left(-i\frac{d}{dx} + f(x)\right)^2 \psi(x)= e^{+i \int^x_0 f(y) dy} \frac{d^2}{dx^2} e^{-i \int^x_0 f(y) dy}\psi(x)$$ y finalmente $$e^{-i \int^x_0 f(y) dy} \left[\left(-i\frac{d}{dx} + f(x)\right)^2 + U(x)\right]\psi= \left(-\frac{d^2}{dx^2} +U(x) \right)e^{-i \int^x_0 f(y) dy}\psi(x)\:.$$ El punto crucial en los cálculos anteriores es que $$\frac{d}{dx}\int_0^x f(y) dy = f(x).\tag{2}$$ Desafortunadamente, el procedimiento no funciona en dimensión. $>1$, desde la generalización de $\int^x_0 f(y) dy$depende de la ruta de integración a menos que el campo vectorial $A$que reemplaza $f$tiene rizo cero. También fijando arbitrariamente un camino, la generalización (0) de (2) generalmente no se cumple en dimensión mayor que $1$. Validez de (2) para dimensión mayor que $1$es equivalente a decir que $A$es un calibre puro al menos localmente, y sin embargo $B = \nabla \times A =0$.