Obtención de supergravedad a partir de la medición de la supersimetría global

Obtener un gravitón no es específico de SUSY: se trata de medir el grupo de Poincaré. Cuando mides una simetría global ordinaria, tomas su corriente$J_\mu$y acoplarlo a un campo de calibre$A^\mu$. Pero una simetría del espacio-tiempo, como el grupo de Poincaré, tiene una corriente conservada más complicada. Esencialmente, porque el generador de momento$P_\mu$ya tiene un índice de Lorentz, la corriente conservada correspondiente no será un vector como$J_\mu$sino un tensor con más índices; resulta ser el tensor de tensión$T_{\mu\nu}$. Así que medir el grupo de Poincaré significa introducir un gravitón$g^{\mu\nu}$acoplamiento a$T_{\mu\nu}$.

En el contexto SUSY, sus generadores SUSY$Q_\alpha, Q^\dagger_{\dot \alpha}$tener un álgebra que incluya los generadores de Poincaré como subálgebra. Entonces, cuando los mides, automáticamente obtienes la gravedad. Pero debido a que también tiene los nuevos generadores SUSY, también obtiene un poco más de estructura: resulta que necesita un gravitino, que es el supercompañero del gravitón.

Este es un boceto. Puede encontrar los detalles en muchos artículos de revisión o libros de texto, como el libro clásico de Wess y Bagger. Daniel Freedman ha escrito recientemente un libro de texto que trata sobre la supergravedad.

El mecanismo general aquí es el análogo supergeométrico de lo que se conoce como geometría de Cartan :

dada una inclusión de grupos de Lie$H \hookrightarrow G$una conexión de Cartan en algún espacio-tiempo$X$es un$G$- conexión principal -- un$G$-campo indicador: satisface la restricción que identifica en cada punto$x \in X$el espacio tangente$T_x X$con el cociente$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$, por$\mathfrak{h}, \mathfrak{g}$las álgebras de mentira de$H$y$G$, respectivamente.

Considere esto para el caso de la inclusión del grupo ortogonal (grupo de Lorentz) en el grupo de Poincaré $O(d,1) \hookrightarrow Iso(d,1)$. el cociente$Iso(d,1)/O(d,1) \simeq \mathbb{R}^{d,1}$es el espacio-tiempo de Minkowski y una conexión de Cartan para esta inclusión de grupos de calibre es equivalente

1. una elección de campo vielbein

2. su conexión Levi-Civita

en el espacio-tiempo, por lo tanto, es equivalente a una configuración de campo de la gravedad, exhibida en formalismo de primer orden como una teoría de calibre (restringida).

La historia análoga pasa con el grupo Poincaré extendido al grupo super Poincaré . Ahora, una conexión de Cartan para la inclusión del supergrupo de Lorentz en el supergrupo de Poincaré es equivalente a una configuración de campo de supergravedad en un espacio-tiempo supervariedad, exhibida en formulación de primer orden como una configuración de una teoría de super-gauge.

Esta es una historia estándar, pero aquí hay algo interesante: por supuesto, las teorías de supergravedad de dimensiones superiores (como la teoría 11d sugra/M, y la supergravedad heterótica y tipo II 10d) tienden a tener más campos que solo el gravitón y el gravitino: también contienen campos de formulario de mayor grado.

Curiosamente, esto también se puede describir mediante conexiones de calibre Cartan, pero ahora en una generalización teórica de mayor calibre : conexiones de Cartan más altas . Aquí, el álgebra de Lie de super-Poincaré se generaliza a n-álgebras de Lie súper como el álgebra de Lie 3 de supergravedad y el álgebra de Lie 6 de supergravedad .

Por ejemplo , Riccardo D'Auria, Pietro Fre ha demostrado (algo implícitamente) que la supergravedad de 11 dimensiones es una teoría de calibre de Cartan superior para el álgebra de mentira 6 de supergravedad . Este es realmente el contenido del libro de texto.

• Leonardo Castellani, Riccardo D'Auria, Pietro Fre, Supergravedad y supercuerdas: una perspectiva geométrica

Estos autores hablan del "método FDA". Sin embargo, estas "FDA" son solo las dg-álgebras duales de la súper mentira anterior.$n$-álgebras (sus " Álgebras de Chevalley-Eilenberg "). Esto se explica un poco en la entrada.

• Formulación de supergravedad de D'Auria-Fré

Hay mucho más que fluye de esto. Por ejemplo, el super completo y exacto$p$-El contenido de branas de la teoría de cuerdas/M se induce a partir de la teoría de extensión de estas supermentiras.$n$-álgebras, por lo tanto, de la teoría de la "reducción de grupos de calibre superior" para las extensiones superiores del grupo / álgebra de super-Poincaré Lie. Esto se indica en nuestras notas aquí:

• Fiorenza, Sati, Schreiber: El ramo super-p-brane