Fondo supersimétrico y variaciones de fermiones.

Permítanme primero describir la idea básica sin siquiera mencionar la supergravedad. Considere alguna teoría de campo clásica de dos campos$\phi$y$\sigma$, con una acción$S[\phi,\sigma]$. Supongamos que esta teoría tiene una simetría continua (con parámetro$\epsilon$):

$$S[\phi,\sigma]=S[\phi+\delta_\epsilon\phi,\sigma+\delta_\epsilon\sigma].$$ Digamos que encuentro alguna configuración de campo en particular $\sigma=\sigma_0$que es invariante bajo la acción de simetría: $\delta_\epsilon \sigma_0 = 0$. Entonces la teoría de campo de $\phi$solo con la acción $\tilde S[\phi] := S[\phi,\sigma=\sigma_0]$obtenido por congelación $\sigma$a la configuración de fondo $\sigma_0$será invariante: $$\tilde S[\phi] = \tilde S[\phi+\delta_\epsilon \phi].$$ Ahora vayamos a la supersimetría. Tengo algo de teoría de campos supersimétricos en el espacio plano. $\mathbb{R}^d$, y quiero poner la teoría en una variedad curva $M$(como $S^d$, $S^{d-1}\times S^1$, o lo que sea). En otras palabras, quiero deformar mi teoría del espacio plano acoplándola a alguna métrica de fondo. $g_{\mu\nu}$para la geometría $M$. En primer lugar, tenga en cuenta que este procedimiento es ambiguo; Siempre puedo agregar términos (por ejemplo, proporcional al escalar de Ricci de $g_{\mu\nu}$) a la acción de la teoría del espacio curvo que se desvanece en el límite del espacio plano. La idea es encontrar $\textit{some}$acción en el espacio curvo que se reduce a nuestra teoría original en el límite del espacio plano y conserva cierta cantidad de supersimetría en el espacio curvo.

Nuestra teoría original tiene un montón de campos que se transforman en multipletes de supersimetría. Queremos acoplar esta teoría a la métrica de fondo$g_{\mu\nu}$. Pero hacerlo de manera ingenua solo romperá toda la supersimetría. Eso no es sorprendente;$g_{\mu\nu}$se acopla al tensor de tensión$T_{\mu\nu}$. Pero en una teoría supersimétrica, el tensor de tensión pertenece a todo un multiplete de corrientes de supersimetría, incluida la corriente de supersimetría, cualquier corriente de simetría R, etc. Entonces, si queremos preservar la supersimetría en el fondo curvo, es probable que necesitemos activar las fuentes de fondo. para las otras corrientes, como un campo de indicador R de fondo. En otras palabras, acoplaremos la teoría a todo un multiplete de supergravedad de fondo.

Comparando con nuestro ejemplo inicial,$\phi$desempeñó el papel de todos los campos dinámicos en la teoría del espacio plano, y$\sigma$corresponde al multiplete de supergravedad. La idea entonces es comenzar con una teoría de la supergravedad (interpretada por$S[\phi,\sigma]$) en el cual$\textit{all}$los campos son dinámicos y se transforman bajo supersimetría, congelan los campos de supergravedad en configuraciones de fondo (incluida la métrica deseada) que son invariantes bajo algún subconjunto de las supersimetrías (este es el$\sigma\to\sigma_0$paso), y así obtener una teoría ($\tilde S[\phi]$) en la variedad curva$M$que es invariante bajo algunas supersimetrías globales que actúan solo sobre los campos dinámicos "$\phi$."

El multiplete dinámico de supergravedad consistirá en campos bosónicos como el métrico$g_{\mu\nu}$y campo de calibre R$A_\mu$, así como campos fermiónicos como el gravitino$\psi_\mu$. Nuestro trabajo es elegir estos campos de tal manera que desaparezcan sus variaciones de supersimetría. Por supuesto, queremos congelar la métrica dinámica para que sea la métrica deseada de$M$. Ponemos a cero todos los fermiones: tienen valores de Grassmann y deben desaparecer en una configuración clásica. Las variaciones de supersimetría de los campos bosónicos son proporcionales a los fermiones y por lo tanto desaparecen. Entonces, las únicas limitaciones provienen de las variaciones de fermiones. En particular, la variación gravitino tomará la forma esquemática

$$\delta_\epsilon \psi_\mu = (\nabla_\mu-A_\mu)\epsilon.$$ (Puede haber términos adicionales en el RHS provenientes de otros campos, pero centrémonos en el campo de indicador R para mayor claridad). Elegimos un valor de fondo apropiado para $A_\mu$tal que la ecuación $\nabla_\mu \epsilon = A_\mu \epsilon$tiene algunas soluciones. El $\epsilon$Los que resuelven esta ecuación se denominan espinores de Killing y determinan las supersimetrías conservadas de la teoría del espacio curvo (si las hay).

Este procedimiento para obtener teorías supersimétricas sobre variedades curvas se exploró sistemáticamente por primera vez aquí . El Apéndice B de este documento contiene una buena revisión que podría ser útil. También aprendí mucho de esta charla de Thomas Dumitrescu.