Números cuánticos de momento angular orbital: ¿restados?

Con dos electrones con número cuántico de momento angular$l=1$hay tres posibilidades, puedes pensar heurísticamente en ellas así:

$L=0$: Los vectores de momento angular de los diferentes electrones están antialineados. Entonces el momento angular total es$1-1=0$.

$L=1$: El vector de momento angular de uno de los electrones apunta a lo largo del eje z, mientras que los otros no. Entonces, el momento angular total para esta configuración es$1+0=1$

$L=2$: Los vectores de momento angular están ambos alineados, dando$1+1=2$.

También puedes mirar el$m_l$número cuántico. Siempre tienes dos electrones con$l=1$, pero las diferentes combinaciones posibles de$m_{l_1}$y$m_{l_2}$darte un momento angular total diferente:

($m_{l_1}=1$y$m_{l_2}=-1$) o ($m_{l_1}=-1$y$m_{l_2}=1$) da$L=0$,

($m_{l_1}=1$y$m_{l_2}=0$) o ($m_{l_1}=0$y$m_{l_2}=1$) o ($m_{l_1}=-1$y$m_{l_2}=0$) o ($m_{l_1}=0$y$m_{l_2}=-1$) da$L=1$,

($m_{l_1}=1$y$m_{l_2}=1$) o ($m_{l_1}=-1$y$m_{l_2}=-1$) da$L=2$.

Revisemos el caso más simple de agregar dos partículas de espín 1/2 antes de hacer el cálculo para dos partículas de espín 1. La discusión gira en torno a los operadores de escalera de manera crucial, así que tal vez los revise si no está familiarizado.

Girar 1/2

Los estados de una sola partícula están atravesados ​​por$\{|+\rangle , |-\rangle\}$entonces el estado de dos partículas tiene base:

$$\{ |--\rangle ,|-+\rangle , |+-\rangle , |++\rangle \}$$ tenga en cuenta que dos de estos obedecen a una simetría de intercambio pero los dos del medio no. Podemos arreglar esto reescribiendo los dos estados centrales como combinaciones de estados simétricos/antisimétricos: $$|-+\rangle = \frac{1}{2}(|-+\rangle +|+-\rangle )+\frac{1}{2}(|-+\rangle -|+-\rangle )$$ y del mismo modo para$|+-\rangle$, por lo tanto, nuestro sistema de dos espines tiene una base adaptada de simetría de intercambio: $$\{ |--\rangle ,\frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle +|+-\rangle ) , \frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle -|+-\rangle ) , |++\rangle \}$$

Ahora podemos hacer la pregunta: ¿cuál es el giro total en cada uno de estos estados? Para esto necesitas saber el operador de giro total$J^2=(\vec{J}_1+\vec{J}_2)^2=J_1^2+J_2^2+2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2$El último término se puede escribir en términos de componentes como$2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2 = 2J_1^z1J_2^z + 2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y)$y el último término se puede volver a escribir en términos de operadores de escalera:

$$2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y) = J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$

que finalmente permite escribir

$$J^2 = J_1^2+J_2^2 + 2J_1^zJ_2^z + J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$ (esta expresión no se limita a la$J=1/2$caso).

Luego puede simplemente aplicar esto a cada estado y recuperar que los tres estados básicos simétricos que escribimos son todos$J=1$estados y los estados antisimétricos son$J=0$.

giro 1

En este caso todavía hay dos partículas pero ahora tres estados cada una. Obtenemos una base no simetrizada con$3^2=9$estados Estos estados no son estados propios del momento angular total$J^2$que debería comportarse bien bajo el intercambio de partículas. Cuando todo esté dicho y hecho, obtendremos ocho estados adaptados a la simetría que se dividen en un conjunto de 5 estados simétricos ($J=2$) un conjunto de 3 estados antisimétricos ($J=1$) y un estado simétrico singlete ($J=0$).

Puedes pensar en el$J=0$estados como si tuvieran espines que están antialineados y, por lo tanto, se cancelan, pero tenga cuidado con el hecho de que estos estados son, de hecho, combinaciones (anti)simetrizadas de los estados de una sola partícula que pueden tener sentido para usted, y las fases relativas juegan un papel importante. papel importante en la determinación del momento angular final. Sin embargo, la imagen intuitiva predice correctamente que sumar dos giros$j_1, j_2$da un giro total$|j_1-j_2|\leq J \leq |j_1+j_2|$.