Cuantización de Bohr del momento angular

la ecuación solo se da con alguna justificación verbal en lugar de una matemática rigurosa.

Piensa: ¿puede haber una prueba rigurosa de las leyes de la mecánica de Newton?

¿Por qué no?

Porque son "axiomas" extra especialmente desarrollados para recoger de las soluciones matemáticas a las ecuaciones diferenciales, aquellas que se ajusten a los datos.

La física se trata de modelar observaciones y datos matemáticamente. A menos que se utilicen axiomas adicionales, llamados "leyes", "principios", "postulados"..., no hay forma de conectar ecuaciones matemáticas abstractas con números medidos.

Es un proceso asociativo, cómo se desarrollan los modelos en física. Bohr tuvo que ajustar los espectros de los átomos, que eran completamente incomprensibles, y sabía del efecto fotoeléctrico , que implicaba energías específicas para sacar electrones de las superficies, y de la fórmula de radiación del cuerpo negro que solo encajaría con los datos si se postulaba la cuantificación. de la energía del fotón (ahí es donde el$h$viene de).

Fue una conjetura brillante establecer$L=\frac{nh}{2\pi}$, una órbita fija, como un "axioma" y cuando la serie del espectro salió como una solución, fue una confirmación de la conjetura.

Ahora el modelo ha sido reemplazado por la teoría de la mecánica cuántica, y en esta teoría donde los "axiomas" son los postulados de la mecánica cuántica , este$L=\frac{nh}{2\pi}$sale de las matemáticas de la mecánica cuántica formal, y puede considerarse como "prueba" de existencia. Esto no disminuye la brillantez de la hipótesis planteada en el modelo de Bohr, que todavía se utiliza como aproximación a los cálculos de la mecánica cuántica.

Estoy de acuerdo con @anna_v en que fue una suposición brillante. Lo que se conocía en ese momento, en pocas palabras, era el concepto de cuanto de energía (Planck) y "cuanto de radiación" (Einstein), que tienen sus raíces en la termodinámica. Además, que los átomos solo emiten y absorben a ciertas frecuencias discretas (Lyman, Balmer y otros "espectroscopistas"...)

El paso genial de Bohr (muy elogiado por Einstein en sus notas autobiográficas) fue contemplar que, cuando se encuentran en determinadas órbitas, los electrones tienen prohibido radiar aunque estén sujetos a aceleración. Un precursor de esta idea parece haber sido implícito, aunque no formulado explícitamente, por Paul Langevin al tratar de explicar el "magnetismo permanente".

Solo para complementar la excelente explicación anterior, y porque parece que te interesan las fuentes bibliográficas, la mejor que conozco la puedes encontrar en:

El desarrollo conceptual de la mecánica cuántica,

por Max Jammer. (Capítulos 1 y 2)

Encuentro muy interesante la discusión sobre el átomo de Bohr de Michael Fowler.

Lo siguiente no pretende ser una respuesta, es una descripción del enfoque de Michael Fowler.

Parece que Michael Fowler ha hecho un uso extensivo de la documentación histórica. En dos lugares de su discusión, Micheal Fowler se refiere a la comunicación escrita de Bohr a Rutherford. La discusión es cuantitativa; los conceptos se discuten y luego se expresan en fórmulas.

En la primera etapa, Bohr trató de encontrar un modelo viable para un estado estable de un átomo multielectrónico, asumiendo que el modelo debe involucrar la constante de Planck.

Cita:
"La constante de Planck juega un papel en la restricción de los cambios orbitales permitidos en los osciladores en la radiación del cuerpo negro, y estos osciladores, aunque no se entendieron muy claramente, tenían el mismo tamaño general que los átomos".

Durante esta etapa, Bohr se guió por datos experimentales de átomos bombardeados con electrones de alta velocidad y la emisión de rayos X característicos. Los datos parecían corroborar una correlación esperada entre la velocidad de los electrones (en el estado de energía más bajo) y la carga total del núcleo.

Cita:
"En febrero de 1913, Bohr se sorprendió al descubrir en una conversación informal con el espectroscopista HR Hansen que se habían discernido algunos patrones en el aparente caos de las líneas espectrales. En particular, Hansen le mostró la fórmula de Balmer para el hidrógeno".

La fórmula de Balmer se había descubierto antes, pero Bohr no lo sabía.

Bohr dijo más tarde:
"Tan pronto como vi la fórmula de Balmer, todo me quedó claro de inmediato".

Bohr se dio cuenta de que la existencia de una serie en el espectro muestra que para el hidrógeno, con su único electrón, no existe un único estado fundamental estable, sino una secuencia de estados estacionarios.

Advertencia:
como sucede con tanta frecuencia cuando un físico hace historia de la física, probablemente esta narrativa se haya simplificado mucho. Sin duda hubo muchos callejones sin salida, y solo se conserva el camino exitoso.

Aún así, tenemos esa cita del propio Bohr sobre su realización cuando se enteró de la serie Balmer. Claramente hubo un gran salto en su nivel de confianza de que estaba en el camino correcto.

Creo que Bohr no hizo la "suposición brillante" de$L=\frac{nh}{2\pi}$. En cambio, su suposición fue que había múltiples estados estables, cada uno con un nivel de energía fijo; y la diferencia entre dos de los niveles de energía da una línea de espectro (una conjetura que provendría directa y naturalmente de la fórmula de Balmer), cuya frecuencia estaba relacionada con la diferencia de energía por la relación frecuencia-energía de Planck$\Delta E=h\nu$(una relación fácilmente disponible en ese momento). Luego se derivó la cuantización del momento angular.

Es como cuando trabajamos en un problema matemático, a menudo trabajamos desde el resultado, hacia atrás, hasta las condiciones dadas. Luego, cuando escribimos la respuesta, escribimos desde las condiciones, hacia adelante, hasta el resultado, como si supiéramos cómo resolver el problema la primera vez que lo vemos.

Con el mismo espíritu, podemos ver que De Broglie no hizo la "conjetura brillante" de la ecuación de onda de masa.$\lambda=\frac{h}{p}$y acaba siendo confirmada por su coherencia con las órbitas de Bohr; sino que trató de ajustar la longitud de onda de la masa a las órbitas de Bohr y terminó con la ecuación que acabamos de mencionar.