Espacio-tiempo de Minkowski: ¿Hay una firma (+,+,+,+)?

La importancia de la métrica:

$$d\tau^2 = dt^2 - dx^2$$

es eso$d\tau^2$es un invariable, es decir, cada observador en cada cuadro, incluso cuadros acelerados, estará de acuerdo en el valor de$d\tau^2$. A diferencia de$dt$y$dx$dependen de las coordenadas y diferentes observadores estarán en desacuerdo acerca de los valores relativos de$dt$y$dx$.

Entonces, si bien es cierto que:

$$dt^2 = d\tau^2 + dx^2$$

esta no es (usualmente) una ecuación útil porque$dt^2$depende del marco.

Por definición, el espacio de Minkowski$\mathbb{R}^{p,q}$debe tener firma$(p,q)=(1,d-1)$, con métrica,

$$ds^2 = -dt^2 +dx_1^2 + dx^2_2 + \dots$$

La firma$(+,+,\dots)$corresponde al espacio euclidiano, que se obtiene por una rotación de Wick,

$$t\to -i\tau$$

al tiempo imaginario$\tau$, y la métrica se modifica, en el caso del espacio de Minkowski rotado de Wick, para$\delta_{\mu\nu}$. En muchos casos, es conveniente hacerlo así, por ejemplo, para la evaluación de la integral de trayectoria. Específicamente, como ejemplo, en la teoría de cuerdas bosónicas, rotamos la acción de Polyakov a,

$$S=\frac{1}{4\pi \alpha'}\int d^2 \sigma \, \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \delta_{\mu\nu}$$

Otro ejemplo: al derivar la fórmula de entropía de Bekenstein-Hawking, elegimos aproximar la función de partición, normalmente dada por una integral de trayectoria, como

$$Z \sim \sum_{\text{classical solns.}} e^{-I_E}$$

dónde$I_E$es la acción euclidiana de Einstein-Hilbert complementada con los términos de contorno necesarios. Para la métrica de Schwarzschild, Wick rotaría al espacio euclidiano,

$$ds^2_E = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2_{\text{II}}$$

e imponer periodicidad a$\tau$con punto$\beta=1/T$. Estos son solo algunos ejemplos de muchos en los que la firma$(+,+,+,+)$es útil para fines computacionales. Como John Rennie señaló correctamente, simplemente manipulando el elemento de línea invariable para,

$$dt^2 = ds^2 + dx^2$$

no logrará ningún efecto, la métrica sigue siendo técnicamente$(1,1)$, y$dt^2$es ciertamente marco dependiente.

el patológico$i\,c\,t$y / o una "firma trivial" parecen ideas muy hábiles y simples a primera vista, pero las diferencias entre Minkowsky y el espacio euclidiano son en realidad bastante profundas y no pueden simplemente eliminarse tan fácilmente.

Observe las siguientes diferencias:

1. El elemento métrico (primera forma fundamental) en el espacio euclidiano es una métrica verdadera: la distancia entre dos elementos en este espacio solo puede ser cero si los dos son los mismos puntos, y es subaditivo , es decir , cumple la desigualdad del triángulo .$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$. Este último es muy intuitivo y afirma la noción cotidiana de "transitividad cualitativa de la cercanía": aproximadamente significa si$x$está cerca de$y$y$y$cerca$z$después$z$es "más o menos" cerca de$x$.

2. El elemento métrico en el espacio-tiempo de Minkowski no cumple ninguna de estas propiedades cruciales: los eventos separados por un vector nulo (que es diferente del vector cero) tienen una distancia de cero entre ellos, y el elemento métrico NO es subaditivo: la desigualdad del triángulo no se cumple . Entonces, la "norma" de Minkowsky ni siquiera es una seminorma en el sentido matemático.

Con los espacios euclidianos se trata de normas y productos internos en el sentido matemático habitual. Sus contrapartes en el espacio-tiempo de Minkowsky no son de estos reinos, aunque tienen algunas similitudes.

El grupo de Lorentz es el conjunto de todas las matrices que conservan la "norma" de Minkowsky: conservan la forma cuadrática con la$+,\,-,\,-,\,-$firma, y ​​se puede demostrar que esto implica que los miembros del grupo también conservan el producto interno de Minkowsky. La introducción de números complejos oscurece y desordena todo en esta elegante descripción, porque no existe el concepto de "firma" con grupos de matrices complejas: en este caso la noción de firma se generaliza a "matrices diagonizables a una matriz con términos de la forma$e^{i\,\phi}$a lo largo de su diagonal principal". En tal grupo, uno puede seguir caminos que deforman continuamente el$e^{i\,\phi}$términos entre sí, por lo que se pierde la noción de firma.

Es posible que desee ver mi exposición de$SO^+(1,3)$aquí para más detalles.

Por lo tanto, es probable que cualquier otro "dispositivo" que "alise" la firma tenga una aplicación limitada.

Considere un vector euclidiano 2-D$\mathbf v$. la longitud al cuadrado es

$$r^2 = \mathbf v \cdot \mathbf v = x^2 + y^2$$

dónde$x$y$y$son los componentes del vector sobre alguna base.

$$x = \mathbf v \cdot \hat e_x$$

$$y = \mathbf v \cdot \hat e_y$$

Ahora, podríamos escribir la siguiente ecuación

$$y^2 = x^2 - r^2$$

pero esto no implicaría que$r$es un componente de cualquier vector porque no lo es -$r$no es una coordenada.

Tampoco podemos interpretar esto como cambiar el producto interno euclidiano a un producto interno de Minkowski. El lado derecho no es un producto interior ya que, de hecho, la ecuación anterior es simplemente

$$y^2 = x^2 - \mathbf v \cdot \mathbf v$$

Similarmente,$\tau$no es una coordenada y no es un componente de un cuatro vector. Escribimos, para un desplazamiento de cuatro vectores similar al tiempo$\vec x$

$$\tau^2 = \vec x \cdot \vec x = x^{\mu}x_{\mu} = t^2 - r^2$$

dónde

$$t = \vec x \cdot \hat e_0$$

Por lo tanto, aunque ciertamente podríamos escribir la ecuación

$$t^2 = \tau^2 + r^2$$

no interpretamos el lado derecho como un producto interno ya que la ecuación anterior es solo

$$t^2 = \vec x \cdot \vec x + r^2$$

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Reemplazando el tiempo con el tiempo propio en el eje y del diagrama de Minkowski

En primer lugar, y lo más importante, el diagrama resultante no sería en absoluto un diagrama de espacio-tiempo, ya que se suprimiría la coordenada de tiempo;$\tau$no es una coordenada.

Mientras que un segmento de línea dirigido entre dos eventos en un diagrama de espacio-tiempo es un vector de cuatro, tal segmento de línea entre dos puntos en su diagrama no sería un vector de cuatro.

Una línea o curva en su diagrama podría interpretarse como un gráfico de una familia de líneas universales; un gráfico de las coordenadas espaciales de los eventos que componen las líneas del mundo contra el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo.

Sin embargo, a partir de este diagrama, no podemos identificar los eventos reales a lo largo de la línea universal ya que, en su diagrama, se suprime la coordenada de tiempo.