¿Se pueden usar las matemáticas de cuaterniones para modelar el espacio-tiempo?

Hay algunos problemas con el uso de cuaterniones para describir el espacio-tiempo. Los cuaterniones tienen dos propiedades importantes: (1) forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones; (2) puedes multiplicar cuaterniones juntos. ^[1] La primera propiedad es obviamente muy sugerente, pero no es diferente de los cuatro vectores habituales que ya usamos en relatividad especial. Para hacer uso específico de los cuaterniones, también tendríamos que usar la segunda propiedad. Recuerde que, al menos en las discusiones ordinarias de la relatividad especial, nunca multiplicará cuatro vectores y obtendrá otro cuatro vectores; solo los "contraes" (toma su producto escalar). Y la multiplicación de cuaterniones estándar en realidad no logra este producto escalar., pero luego están esos componentes vectoriales adicionales. Puede obtener un escalar puro multiplicando un cuaternión por sí mismo, pero solo conjugando una copia, lo que le da un resultado definido positivo en lugar del intervalo. Así que no es muy útil para la relatividad especial. Y en lo que respecta a los vectores, el enfoque habitual es lo suficientemente bueno.

Aunque tienen cuatro grados de libertad, los cuaterniones realmente "viven en" un espacio físico de tres dimensiones. Resulta que los cuaterniones no deberían considerarse como un escalar más un vector. En su lugar, deben considerarse como un escalar más un vector bi . ^[2] Más específicamente, los cuaterniones son en realidad los "espinores" naturales del espacio tridimensional. Entonces, en lugar de ser como vectores, actúan sobre vectores. Por ejemplo, probablemente el uso más común de los cuaterniones es para describir rotaciones de vectores. Esto vale la pena repetirlo: los cuaterniones no deben considerarse como vectores en 4-d; deben considerarse como operadores que actúan sobre vectores en 3-d.

Entonces, para responder a su pregunta, sí, podría usar cuaterniones para modelar el espacio-tiempo, aunque habría mucho equipaje inútil flotando. Pero extrapolando la motivación de su pregunta, podría reformularla como "¿Podemos usar las propiedades especiales de los cuaterniones para obtener alguna ventaja computacional o conocimiento filosófico en relatividad?" A eso, la respuesta es no; no tienen nada útil que decir sobre el espacio- tiempo , ya que en realidad solo se trata del espacio.

¡Pero hay buenas noticias! Existe una generalización natural de los cuaterniones al espacio-tiempo de cuatro dimensiones, y realmente nos brinda ventajas computacionales y conocimientos filosóficos. Lo bueno de pensar en los cuaterniones como escalares + bivectores es que la idea ahora se generaliza muy fácilmente a dimensiones arbitrarias, y en particular al espacio-tiempo de Minkowski . Este es un campo de estudio llamado "álgebra geométrica" , o GA para abreviar. ^[3]

Los espinores en 4 dimensiones ^[4] resultan ser muy parecidos a los espinores en 3 dimensiones (cuaterniones). Por ejemplo, se pueden usar para rotar vectores de 4 dimensiones muy bien. Pero también pueden impulsar vectores 4-d con la misma facilidad: un impulso es una especie de rotación generalizada . Resulta que muchas de las cosas habituales que hacemos en relatividad especial son mucho más fáciles usando espinores.

Y puedes seguir yendo a otras dimensiones. Por ejemplo, volviendo a solo dos dimensiones, ¡encontrará que los números complejos son los espinores de 2-d! Incluso empiezas a entender mejor el álgebra compleja usando GA. De hecho, he enseñado GA a biólogos comenzando en 2 dimensiones. Una vez que comprenda este ejemplo simple, es casi trivial extender GA a dimensiones arbitrarias. ^[5]

Si desea obtener más información, hay un libro fantástico sobre esto llamado Álgebra geométrica para físicos . De hecho, es mi libro de física favorito, punto final. También hay muchas buenas referencias en línea, si las busca en Google. Y tengo que conectar el módulo de Álgebra Geométrica para sympy , que nos brinda un buen programa (de código abierto) para hacer los cálculos simbólicamente.

Notas al pie:

1. En conjunto, estos dos hechos significan que los cuaterniones forman "un álgebra" . La idea puede parecer un poco extraña: que en realidad puedes multiplicar dos vectores entre sí. Ya sabes cómo multiplicar un vector por un escalar. Y puedes tomar los productos punto y cruz, pero ninguno de ellos es invertible. Pero en realidad, simplemente multiplicar dos vectores de una manera (generalmente) invertible puede parecer extraño. Y luego te das cuenta de que lo haces todo el tiempo con números complejos, que también forman "un álgebra". Por no hablar de las matrices.

2. Da la casualidad de que en tres dimensiones, hay tres grados de libertad en un bivector y tres grados de libertad en un vector. Entonces, cuando Hamilton descubrió los cuaterniones, estaba comprensiblemente confundido acerca de lo que representaban. Su confusión fue toda la razón de las guerras de vectores/cuaterniones de la década de 1890 . Hoy en día, entendemos que los cuaterniones y los vectores son solo dos aspectos de lo mismo: GA. Yo diría que esta confusión es una de las grandes tragedias de la historia de la física, ya que Grassmann y Clifford ya habían desarrollado todas las herramientas necesarias para resolver el conflicto.

3. Podríamos discutir el nombre de esta cosa hasta que las vacas vuelvan a casa. Pero en la práctica, "Álgebra geométrica" ​​es un subtipo de Álgebra de Clifford , excepto que asumimos que en GA los coeficientes para nuestro espacio vectorial son números reales, mientras que CA puede tener coeficientes de cualquier campo , especialmente números complejos. Pero CA generalmente se presenta con abstracciones irrelevantes, y la versión compleja casi nunca es necesaria para aplicaciones en física (¡incluso en mecánica cuántica!).

4. Los espinores en 4-d a veces se denominan bicuaterniones , que son cuaterniones "complejizados", pero ese es un camino muy malo para seguir. La complejidad no es esclarecedora y en realidad no se aplica a otras dimensiones. Creo que es sintomático de una tendencia a usar características oscuras y accidentales específicas de una dimensión particular, en oposición al enfoque intuitivo, pedagógico, sistemático y universal de GA.

5. El camino que los espinores y las álgebras de división normadas (NDA) tomaron juntos se divide en la dimensión cuatro, ya que este último se dirige a un callejón sin salida (no hay más NDA después de los octoniones). Los espinores en cuatro dimensiones tienen ocho grados de libertad, como los octoniones, pero esa es solo la propiedad del espacio vectorial. La otra propiedad de las álgebras, la multiplicación, no puede ser la misma porque los octoniones no son asociativos , pero la asociatividad es una de las características definitorias de GA. Así que los octonions no son un ejemplo particular de GA. Sin embargo, también vale la pena señalar que existen otros grupos espinores incluso para dimensiones ≤3 cuando tiene una firma no positiva. Por ejemplo, los números complejos divididos son los espinores de una versión bidimensional del espacio de Minkowski.

   Por supuesto, hay muy poca necesidad de octoniones en física. John Baez tiene una gran introducción típica a un artículo sobre octoniones en física que puedes leer aquí , en el que muestra que hay aplicaciones en supersimetría/teoría de cuerdas (y matemáticas puras, obviamente). Pero ese es el argumento más convincente que he visto de que los octoniones podrían tener alguna aplicación relevante en física, y ciertamente no estoy convencido.

La respuesta anterior es mucho más detallada (y mucho mejor) que la mía, pero recomendaría el "Camino a la realidad" de Penrose, páginas 200 en adelante, específicamente la afirmación de que "La forma cuadrática cuaternónicamente natural" (...) tiene la forma incorrecta firma para la teoría relativa. La relatividad especial depende de una firma de digamos - + + + (permitiéndonos expresar el tiempo en términos espaciales como -ict) pero, según tengo entendido, con los cuaterniones tienes una firma de + + + +, que no se ajusta a la métrica utilizada en 4 - D espacio-tiempo.

De hecho, los cuaterniones modelan intrínsecamente el espacio-tiempo.

Los cuaterniones se derivan de la identidad de 4 cuadrados, descubierta por Leonhard Euler, es decir, que el producto de dos sumas de cada cuatro cuadrados es siempre de nuevo una suma de cuatro cuadrados: ($X_0^2$+$X_1^2$+$X_2^2$+$X_3^2$)($Y_0^2$+$Y_1^2$+$Y_2^2$+$Y_3^2$) = ($Z_0^2$+$Z_1^2$+$Z_2^2$+$Z_3^2$). ($Z_0$,$Z_1$,$Z_2$,$Z_3$) se puede expresar algebraicamente en términos de ($X_0$,$X_1$,$X_2$,$X_3$) y ($Y_0$,$Y_1$,$Y_2$,$Y_3$). sustituyendo$x_0$=$X_0$;$x_1$=$\hat iX_1$;$x_2$=$\hat jX_2$;$x_3$=$\hat kX_3$, y haciendo lo mismo para$y_0$,$y_1$,$y_2$,$y_3$; así como para$z_0$,$z_1$,$z_2$,$z_3$;donde

Recientemente publiqué un pequeño artículo sobre esto en el " Boletín de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles ", Vol 103 (2014), p. 83-90 . El artículo se titula " De la réalité des nombres " y está en francés; es un poco más explícito que lo que he dicho aquí en pocas palabras.