Número promedio de partículas en un cierto nivel de energía en el Conjunto Canónico

Question

Número promedio de partículas en un cierto nivel de energía en el Conjunto Canónico

Invenietis

Un sistema cuántico tiene $r$ niveles discretos de energía $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,...,\varepsilon_r$ y $N$ partículas distribuidas en estos niveles, con el número de partículas en cada nivel indicado por $n_1,n_2,n_3,...,n_r$ . Estoy tratando de encontrar el número promedio de partículas en el $i$ -ésimo nivel de energía, $\left\langle n_i\right\rangle$ , y la fluctuación de este promedio, $\left\langle(\Delta n_i)^{2}\right\rangle$ , usando el Conjunto Canónico.

Mi intento

La energía promedio del sistema en el estado $R$ determinado por los números de ocupación $(n_1,n_2,n_3,...,n_r)_R$ puede ser calculado por

⟨ mi ⟩ = ⟨ {mi}_{R} ⟩ = \sum_{R} {PAG}_{R} {mi}_{R} = \frac{1}{Z} \sum_{R} {mi}_{R} {mi}^{- β {mi}_{R}} = - \frac{1}{Z} (\frac{\partial Z}{\partial β})_{norte, V} = - (\frac{\partial en Z}{\partial β})_{norte, V}

$\langle E\rangle=\left\langle E_{R}\right\rangle=\sum_{R} P_{R} E_{R} =\frac{1}{Z}\sum_{R} E_{R} e^{-\beta E_{R}} =-\frac{1}{Z}\bigg(\frac{\partial Z}{\partial \beta}\bigg)_{N, V} =-\bigg(\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta}\bigg)_{N, V}$

Con un proceso similar, teniendo en cuenta que $E_{R} = \sum_{r} n_r \varepsilon_{r}$ , uno entiende eso

⟨ {norte}_{i} ⟩ = \sum_{R} {PAG}_{R} {norte}_{i} = \frac{1}{Z} \sum_{R} {norte}_{r} {mi}^{- β \sum_{r} {norte}_{i} ε_{r}} = - \frac{1}{β} (\frac{\partial en Z}{\partial ε_{i}})_{norte, V}

$\langle n_i\rangle = \sum_{R} P_{R} n_i =\frac{1}{Z}\sum_{R} n_r e^{-\beta \sum_{r} n_i \varepsilon_{r}} =-\frac{1}{\beta}\bigg(\frac{\partial \ln Z}{\partial \varepsilon_i}\bigg)_{N, V}$

Que se supone que es el resultado correcto. Sin embargo, no estoy seguro de que esto $\langle n_i \rangle = \sum_{R} P_{R} n_i$ es válido para este promedio ya que $P_r$ es la probabilidad de que el sistema esté en el $R$ -declarar, no que el $r$ -th nivel de energía tiene un cierto número de partículas...

¿Es correcto el procedimiento que he realizado en este?

Respuestas (1)

Número promedio de partículas en un cierto nivel de energía en el Conjunto Canónico

j murray · Answer 1

Esto no está del todo bien. Un microestado de su sistema está definido por el $r$ -tupla $R=(n_1,n_2,\ldots,n_r)$ que da los números de ocupación de cada nivel de energía. Cada $r$ -tuple tiene una energía correspondiente dada por $E_R=\sum_{i=1}^r n_{i,r} \epsilon_i$ (dónde $n_{i,R}$ es el número de ocupación de la $i^{th}$ nivel de energia en microestado $R$ ) y la probabilidad de que el sistema ocupe cada microestado es $P_R = e^{-\beta E_R}/Z$ , dónde $Z$ es la función de partición.

Tiene sentido calcular la energía promedio del sistema a través de esta distribución de probabilidad:

⟨ mi ⟩ = \sum_{R} {PAG}_{R} {mi}_{R} = \frac{\sum_{R} {mi}_{R} {mi}^{- β {mi}_{R}}}{Z} = - \frac{\partial}{\partial β} registro (Z)

$\left<E\right> = \sum_R P_R E_R = \frac{\sum_R E_R e^{-\beta E_R}}{Z} = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log(Z)$

No tiene sentido hablar de $\left<E_R\right>$ , sin embargo. Para cada microestado $R$ , $E_R$ es un número fijo.

El número esperado de partículas en el nivel de energía. $i$ se puede calcular exactamente de la misma manera. Estamos promediando todos los microestados posibles, ponderados por la probabilidad de que ese microestado esté habitado por el sistema:

⟨ {norte}_{i} ⟩ = \sum_{R} {PAG}_{R} {norte}_{i, R}

$\left<n_i\right> = \sum_R P_R n_{i,R}$

Ampliando esto más,

⟨ {norte}_{i} ⟩ = \frac{1}{Z} \sum_{R} Exp [- β \sum_{j} {norte}_{j, R} ϵ_{j}] {norte}_{i, R} = \frac{1}{Z} \sum_{R} - \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial ϵ_{i}} Exp [- β \sum_{j} {norte}_{j, R} ϵ_{j}]

$\left<n_i\right> = \frac{1}{Z}\sum_R \exp\left[-\beta \sum_j n_{j,R} \epsilon _j\right]n_{i,R}= \frac{1}{Z}\sum_R -\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial \epsilon_i}\exp\left[-\beta\sum_j n_{j,R} \epsilon_j\right]$

= - \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial ϵ_{i}} registro (Z)

$= -\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial \epsilon_i} \log(Z)$

Número promedio de partículas en un cierto nivel de energía en el Conjunto Canónico

Invenietis

Respuestas (1)

j murray

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