Multiplicidad vs función de partición

Parece que podrían estar relacionados. ¿Cuál es la relación?

De sus dos ecuaciones, tenemos

$$k\ln \Omega = k \ln Q + kT\frac{\partial}{\partial T} \ln Q = k \ln Q + \frac{kT}{Q}\frac{\partial}{\partial T}Q$$

pero

$$Q = \sum_ie^{-\frac{E_i}{kT}}$$

y entonces

$$k\ln \Omega = k \ln Q + \frac{kT}{Q}\frac{1}{kT^2}\sum_i E_ie^{-\frac{E_i}{kT}} = k\left(\ln Q + \frac{1}{kT} \langle E \rangle \right)$$

Dividiendo por$k$y exponenciando ambos lados se obtiene:

$$\Omega = Qe^{\frac{\langle E \rangle}{kT}}$$

en el limite que$T\rightarrow\infty$, la función de partición y la multiplicidad de estados son iguales.

¿Por qué? Bueno, eso lo tenemos$Q=\sum_{i} e^{-E_i/kT}$, dónde$i$indexa todos los microestados posibles. Si$T\rightarrow\infty$, todos estos factores de Boltzman se aproximan a uno, y tenemos$Q=\sum_i 1=\Omega$.

Podrías pensar que en el límite$T\rightarrow\infty$las dos fórmulas que diste anteriormente no estarían de acuerdo, ya que hay un término adicional proporcional a$T$en su segunda fórmula. Pero si haces la derivada explícitamente, encontrarás que el$\frac{\partial \ln(Q)}{\partial T}$es proporcional a$\frac{1}{T^2}$, de modo que el término$kT\frac{\partial \ln(Q)}{\partial T}$va a cero como$T\rightarrow\infty$.

Hay un hecho poco conocido que es relevante aquí. Las energías de los microestados solo se especifican hasta una constante aditiva arbitraria (como con todas las energías, que siempre se refieren a un cero de la energía). Por ejemplo, es común en la mecánica estadística hacer referencia a todas las energías de los microestados en relación con la energía del microestado de menor energía. Se puede sumar o restar una energía constante de todas las energías de los microestados sin cambiar las probabilidades de los microestados:

$$\begin{align} \require{cancel} E_i' &= E_i - C \\ p_i &= \frac{e^{-\beta E_i'}}{\sum_s e^{-\beta E_i'}} = \frac{e^{-\beta (E_i-C)}}{\sum_s e^{-\beta (E_i-C)}} = \frac{e^{\beta C} e^{-\beta E_i}}{\sum_s e^{\beta C} e^{-\beta E_i}} = \frac{\cancel{e^{\beta C}} e^{-\beta E_i}}{\cancel{e^{\beta C}} \sum_s e^{-\beta E_i}} \end{align}$$

Ahora bien, como afirma Alfred Centauri, la multiplicidad y la función de partición están relacionadas por:

$$\Omega = Qe^{\beta \langle E \rangle}$$

Sin embargo, si uno normaliza las energías de los microestados de manera que la energía promedio$\langle E' \rangle = 0$($E_i' = E_i - \langle E \rangle$), tenemos:

$$\Omega = Q$$

exactamente.