¿Es fija la energía total de un sistema de conjunto canónico de partículas NNN, con niveles de energía de una sola partícula dados por ϵiϵi\epsilon_i?

¿Es la energía total de un sistema de conjunto canónico de norte partículas, con niveles de energía de una sola partícula dados por ϵ i fijado ?

Sabemos que la energía total del sistema está dada por:

mi = ∑ i norte i ϵ i

Aquí norte i es el número de partículas en el ϵ i nivel de energía.

Sin embargo, conocemos la probabilidad de que una sola partícula tenga energía ϵ j es dado por :

PAG ( ϵ j ) = gramo j mi − β ϵ j Z

Aquí, gramo j es la degeneración de ese nivel de energía, y Z es la función de partición de una sola partícula.

Además, sabemos que la probabilidad de que una sola partícula tenga energía ϵ j , es el número total de partículas en ese nivel de energía, dividido por el número total de partículas, según la definición de probabilidad.

Por eso,

norte j norte = PAG ( ϵ j ) = gramo j mi − β ϵ j Z

Esto implica,

norte j = norte PAG ( ϵ j ) = norte gramo j mi − β ϵ j Z

Por lo tanto, podemos encontrar fácilmente norte j para cualquier ϵ j . Entonces, si conocemos el número de partículas en cada uno de estos niveles de energía, podemos determinar la energía total exacta del sistema. mi , en la primera ecuación.

Sin embargo, esto parece problemático. Si averiguamos la energía total del sistema y el número de partículas en cada nivel de energía, estamos restringiendo todo este sistema a un microestado en particular. La probabilidad de obtener este microestado particular es 1 . La probabilidad de obtener cualquier otro microestado debe ser 0 .

Sin embargo, ¿no debería tener cada microestado posible del sistema una probabilidad finita, es decir, cada valor posible de la energía total tiene una probabilidad finita?

He hecho un par de preguntas relacionadas, y las sorprendentes respuestas a esas preguntas sugieren que norte j no es el número real de partículas en el ϵ j nivel. Más bien, es el número esperado de partículas en ese nivel de energía. Sin embargo, muchas respuestas en diferentes sitios web y comentarios a una de mis respuestas anteriores no están de acuerdo y afirman que norte j es el número real exacto de partículas en ese nivel de hecho.

Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto y despejar mi duda.

Respuestas (1)

No, la energía de un conjunto canónico no es fija. Los tres conjuntos clásicos son

  • Microcanónico: energía fija (piense en un gas en una caja perfectamente aislada): el sistema en sí ha sido obligado a tener una energía constante.
  • Canónico: temperatura fija (piense en un sistema sumergido en un baño de agua infinito con temperatura controlada). La energía puede fluctuar dentro y fuera del sistema.
  • Gran Canónico: temperatura fija y potencial químico fijo. La energía y las partículas pueden fluctuar dentro y fuera del sistema. La única diferencia aquí es que el espacio del microestado incluye todos los números de ocupación posibles.

La confusión proviene de la notación donde la gente escribe, por ejemplo, mi como abreviatura de ⟨ mi ⟩ en el conjunto canónico. Sin embargo, es una situación físicamente diferente: si tiene la capacidad de medir las fluctuaciones térmicas, por ejemplo, midiendo la capacidad calorífica, verá claramente que la energía de un conjunto canónico en realidad fluctúa aleatoriamente en torno a su valor esperado. La ley de los grandes números suprime estas fluctuaciones, por lo que normalmente no son importantes. Un conjunto microcanónico perfectamente aislado, por definición, no tiene fluctuaciones de energía.

En los tres conjuntos, podría decirse que no hay una forma sensata de hablar sobre el "número de partículas en microestado i ". El punto de la termodinámica es que no sabemos nada sobre el sistema, solo podemos hacer declaraciones sobre sus amplias propiedades estadísticas y la distribución de probabilidad de los microestados.

El norte j lo que observa en el conjunto canónico son valores esperados: en un momento dado, es posible que no haya partículas en ese microestado. Ahora tenga en cuenta que para sistemas muy grandes, es extremadamente improbable que la verdadera ocupación de un nivel de energía dado esté lejos de su valor esperado, razón por la cual algunas fuentes pueden sugerir que norte j es el número "real" de partículas en macroestado i .

Gracias. Sin embargo, el valor esperado de la energía viene dado por la probabilidad multiplicada por la energía total y sumada sobre todas las posibilidades. Sin embargo, aquí he multiplicado las energías de las partículas individuales por el número de partículas y las he resumido. Son estos la misma cosa ?
No existe una forma sensata de medir el número "verdadero" de partículas en un conjunto estadístico como este, solo podemos tomar valores esperados y confiar en la ley de los grandes números para suprimir las fluctuaciones. (ver editar)
¿Es fija la energía total de un sistema de conjunto canónico de partículas NNN, con niveles de energía de una sola partícula dados por ϵiϵi\epsilon_i?
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