Ángulos que determinan un punto interior a un triángulo

dado un triangulo A B C , un punto PAG interior al triángulo puede ser determinado por dos ángulos, por ejemplo el ángulo α = ∠ PAG A C y el ángulo β = ∠ PAG B A (Vea el diagrama a continuación).

En este caso, una vez α y β se eligen, el tercer ángulo definido de manera similar γ = ∠ PAG C B está arreglado. Esta pregunta es sobre cómo γ depende de (lo conocido) α y β .

Aplicando la regla del seno a los tres triángulos que se encuentran en PAG , pude encontrar una fórmula

cuna ⁡ γ = cuna ⁡ C + pecado ⁡ α pecado ⁡ β pecado ⁡ ( A − α ) pecado ⁡ ( B − β ) pecado ⁡ C ⋅

La aplicación ciega de fórmulas trigonométricas de esta manera conduce a lo que parece una expresión bastante compleja y no es directamente obvio cómo se relaciona con lo que parece ser una relación geométrica simple.

¿Alguien sabe de una forma más sencilla de representar γ y/o una intuición geométrica básica para relacionar γ a α y β ?

Ver la forma trigonométrica del Teorema de Ceva . Esto lo lleva a la misma relación menos que bonita que encontró, pero al menos muestra que la relación se deriva de un punto de partida elegante.
@Blue Se puede obtener otro "lugar de declaración elegante" mediante el uso de coordenadas baricéntricas (ver mi solución). No me sorprendería que sea equivalente a la interesante forma trigonométrica del teorema de Ceva que mencionas y que no conocía.
@JeanMarie: Tu forma determinante también es bastante clara. :) ... Por alguna razón, Trigonometric Ceva (y Menelaus) no es tan conocida como la forma clásica. (Es por eso que tuve que vincular a Cut-the-Knot en lugar de, digamos, Wikipedia). Sin embargo, me pareció bastante conveniente.

Respuestas (1)

Las ecuaciones de las rectas PAG A , PAG B , PAG C en coordenadas baricéntricas ( a , b , C ) son resp.

{ 0 a + pecado ⁡ ( A − α ) b − pecado ⁡ ( α ) C = 0 − pecado ⁡ β a + 0 b + pecado ⁡ ( B − β ) C = 0 pecado ⁡ ( C − γ ) a − pecado ⁡ γ b + 0 C = 0

Por lo tanto, estas líneas que tienen un punto común PAG , podemos escribir una relación bastante simétrica bajo la forma del determinante de sus coeficientes igual a 0 :

0 pecado ⁡ ( A − α ) − pecado ⁡ ( α ) − pecado ⁡ β 0 pecado ⁡ ( B − β ) pecado ⁡ ( C − γ ) − pecado ⁡ γ 0 = 0

o :

pecado ⁡ α pecado ⁡ β pecado ⁡ γ = pecado ⁡ ( A − α ) pecado ⁡ ( B − β ) pecado ⁡ ( C − γ )

que es equivalente a la forma trigonométrica de la fórmula de Ceva dada por @Blue.

@Blue Otro sitio rico para diferentes formas del teorema de Ceva (¡y geometría en general!)
Gracias a ambos, esto le da un entorno muy agradable. La ecuación del producto de los senos, ya sea a través del teorema de Ceva o de las coordenadas baricéntricas, se reorganiza fácilmente a lo que había encontrado.
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