Pregunta modelo PRMO: "El mcm menor de 20 números naturales, no necesariamente diferentes, cuya suma es 413, es _________"

Question

Pregunta modelo PRMO: "El mcm menor de 20 números naturales, no necesariamente diferentes, cuya suma es 413, es _________"

gcd-y-lcm
Matemáticas
concurso-matematicas
teoría de los números

Espectro

Esta es una pregunta que vi en un documento modelo de PRMO realizado por una institución donde estudio (es decir, no mi escuela, sino un centro de entrenamiento de ingreso) el 1 de agosto de 2021 según el calendario aquí. Al principio me quedé estupefacto al ver la pregunta. Nunca intenté jugar con LCM, pero de alguna manera logré llegar a una especie de solución, que agrego a continuación:

Dejar $a_1, a_2, a_3, \dots , a_{20}$ ser los números. Dado que su suma es impar, hay más números impares que pares, o hay un número impar de números impares entre la mayoría de los números pares entre $a_1, a_2, a_3$ , etc. También, $413 = 21\times 19 + 14$ , y como se dice que todos $a_1,a_2,a_3$ , etc. no son necesariamente distintos y dado que uno de $a_1,a_2,a_3, \dots$ es incluso según la primera posibilidad, podemos decir que $19\space a_i$ son $21$ y el único número par entre los $20$ enteros es $14$ . También $lcm(21,21,21,... \text{(19 nos.)},14) = 42$ , que es, por lo tanto, un posible candidato que vale la pena considerar.

Me detuve allí. La clave de respuestas también me dijo que $42$ es la respuesta, (solo en unos pocos documentos agregaron la solución completa, con la que estoy en una especie de desacuerdo (personalmente) excepto por aquellas preguntas que yo o cualquier otra persona encuentra irremediablemente difíciles. Esta vez, simplemente regalaron la clave sin pasos y como había encontrado este problema como una piedra dura durante el examen modelo, anhelaba tener una solución. Revisé mi copia de "Olympiad Number Theory Through Challenging Problems" y "Intermediate Number Theory" de Justin Stevens, pero fue en vano. ) pero eso todavía me hace pensar en la segunda posibilidad de la suma, que es bastante más desafiante de lo que pensaba. Además, no soy capaz de probar la minimalidad de $42$ en el conjunto de soluciones, lo que nuevamente me desanima y me hace pensar que llegué a la solución de manera trivial.

Me gustaría saber si hay una mejor manera de solucionarlo y también cómo puedo probarlo o refutarlo. $42$ es el valor mínimo posible. Además, proporcionar enlaces a preguntas similares con diferentes sumas y números también me será de gran ayuda para aprender.

David Díaz

28 \cdot 13 + 7 \cdot 7 = 413

$28\cdot 13 + 7\cdot 7 = 413$ y

l c m (28, 7) = 28

$lcm(28,7) = 28$

Espectro

@DavidDiaz, ¿entonces se suponía que esa era la respuesta?

Espectro

Y básicamente, ¿necesito encontrar una combinación lineal para la suma y tomar el LCM de los coeficientes?

David Díaz

24 \cdot 16 + 12 \cdot 2 + 3 + 2 = 413

$24\cdot 16 + 12\cdot 2 + 3 + 2 = 413$ y

l c m (24, 12, 3, 2) = 24

$lcm(24,12,3,2) = 24$ . Esta parece ser la respuesta mínima ya que el mcm no puede ser menor que

413 / 20

$413/20$ y

21, 22,

$21,22,$ y

23

$23$ no parece funcionar.

Espectro

@DavidDiaz pero ¿cómo sucede eso? Eso es lo que no estoy recibiendo.

Espectro

@DavidDiaz, ¿le importaría proporcionar una respuesta detallada, por favor? Es porque no he entendido qué metodología se requiere para esta pregunta, ya sea una búsqueda exhaustiva o un teorema o cualquier otra cosa.

Espectro

O @DavidDiaz es el límite mínimo para los posibles LCM de

n

$n$ números naturales cuya suma es

S

$S$ es

⌊ \frac{S}{n} ⌋

$\lfloor\frac{S}{n}\rfloor$ ? Lo pregunto porque nunca he oído hablar de tal resultado.

Espectro

@DavidDiaz bueno, entonces, puede poner una respuesta para que pueda aceptarla, si se me ha ocurrido claramente. Además, ¿le importaría indicarme cómo puedo probar ese resultado?

Espectro

@DavidDiaz bueno, debo haber sido un poco tonto al pedirte la prueba del resultado; perdon por jugar con tu tiempo' :)

David Díaz

Aunque publiqué una respuesta a la pregunta de matemáticas, en realidad no responde a su pregunta de cómo encontrar una respuesta. El cómo es muy personal para ti. Edité mi respuesta para mayor claridad para abordar su meta-pregunta.

Espectro

@DavidDiaz, lo que debe haber hecho que la pregunta sea mucho más sutil es el hecho de que de alguna manera había llegado a la solución falsa y principalmente estaba buscando una verificación y una guía para un atajo. La solución falsa también me pareció convincente, así que qué hacer... Tontamente fui tras el oro de los tontos que encontré: D

Respuestas (2)

Pregunta modelo PRMO: "El mcm menor de 20 números naturales, no necesariamente diferentes, cuya suma es 413, es _________"

@DavidDiaz, ¿entonces se suponía que esa era la respuesta?
Y básicamente, ¿necesito encontrar una combinación lineal para la suma y tomar el LCM de los coeficientes?
$24\cdot 16 + 12\cdot 2 + 3 + 2 = 413$ y $lcm(24,12,3,2) = 24$ . Esta parece ser la respuesta mínima ya que el mcm no puede ser menor que $413/20$ y $21,22,$ y $23$ no parece funcionar.
@DavidDiaz pero ¿cómo sucede eso? Eso es lo que no estoy recibiendo.
@DavidDiaz, ¿le importaría proporcionar una respuesta detallada, por favor? Es porque no he entendido qué metodología se requiere para esta pregunta, ya sea una búsqueda exhaustiva o un teorema o cualquier otra cosa.
O @DavidDiaz es el límite mínimo para los posibles LCM de $n$ números naturales cuya suma es $S$ es $\lfloor\frac{S}{n}\rfloor$ ? Lo pregunto porque nunca he oído hablar de tal resultado.
@DavidDiaz bueno, entonces, puede poner una respuesta para que pueda aceptarla, si se me ha ocurrido claramente. Además, ¿le importaría indicarme cómo puedo probar ese resultado?
@DavidDiaz bueno, debo haber sido un poco tonto al pedirte la prueba del resultado; perdon por jugar con tu tiempo' :)
Aunque publiqué una respuesta a la pregunta de matemáticas, en realidad no responde a su pregunta de cómo encontrar una respuesta. El cómo es muy personal para ti. Edité mi respuesta para mayor claridad para abordar su meta-pregunta.
@DavidDiaz, lo que debe haber hecho que la pregunta sea mucho más sutil es el hecho de que de alguna manera había llegado a la solución falsa y principalmente estaba buscando una verificación y una guía para un atajo. La solución falsa también me pareció convincente, así que qué hacer... Tontamente fui tras el oro de los tontos que encontré: D

Carl Schildkraut · Answer 1

La respuesta correcta es en realidad $24$ , que se logra con una lista compuesta por $17$ Copias de $24$ , dos copias de $2$ , y uno $1$ .

El mayor de los números es al menos $\frac{413}{20}=20.65$ , por lo que es al menos $21$ . Entonces, el MCM de los números debe ser al menos $21$ .

Si esto es $21$ , y aquí están $n$ Copias de $21$ , la suma total $S$ satisface

413 = S \geq 21 norte + 7 (20 - norte) = 14 norte + 140,

$413=S\geq 21n+7(20-n)=14n+140,$ que resuelve a

n \geq 19.5

$n\geq 19.5$ . Esto significa que

n \geq 20

$n\geq 20$ , que no puede ocurrir.

Si esto es $22$ , desde $11$ no divide $413$ , debe haber un $1$ o un $2$ . Si hay $n$ Copias de $22$ , tenemos

413 = S \geq 22 norte + 11 (19 - norte) + 2 = 11 norte + 211,

$413=S\geq 22n+11(19-n)+2=11n+211,$ lo que da

n \geq 18.36 \dots

$n\geq 18.36\dots$ -- sin embargo,

19

$19$ Copias de

22

$22$ suma a

418 > 413

$418>413$ , por lo que esto no puede suceder.

Si esto es $23$ , y aquí están $n$ Copias de $23$ , todos los demás son unos, lo que da

413 = S = 23 norte + (20 - norte) = 20 + 22 norte,

$413=S=23n+(20-n)=20+22n,$ que no da un entero

n

$n$ .

Entonces, lo óptimo es $24$ .

El $x_{i}$ consiste en $x_{max}$ y sus factores o bien $LCM\left(x_{1},…,x_{20}\right)\geq 2x_{max}\geq 42$ . No me extraña que pongan $42$ como el ejemplo, ¡era una pista!
@CalSchildkraut Creo que fue un error tipográfico entonces. El hecho de que llegué a la respuesta con el error tipográfico fue lo que me desconcertó ... además, no entiendo por qué el menor límite para tal problema (suma $S$ , $n$ números) es $\lfloor\frac{S}{n}\rfloor$ , ¿le importaría agregar cómo puedo llegar a ese resultado? De todos modos, Vielen danke!
@Spectre, el LCM de varios números no puede ser menor que ninguno de los números, incluido el máximo, y el máximo no puede ser menor que el promedio.
@RezhaAdrianTanuharja oh sí, parece que había olvidado que el MCM de dos números siempre es mayor o igual que cualquiera de los números (o ambos). ¡Gracias por recordarme!
@Espectro Bitte! De hecho, puede lograr un límite inferior de $\lceil S/n\rceil$ utilizando la misma lógica.
@CarlSchildkraut sí, Rezha ya había dicho que... Vielen danke noch einmal! (¿Lo dije bien? Había aprendido un poco de alemán por diversión, pero parece que mis días de escuela me hicieron olvidarlo :D)

David Díaz · Answer 2

El menor mcm de veinte números que suman $413$ es $24$ .

El MCM no puede ser impar. Si lo fuera, los veinte números serían impares y su suma sería par.
El LCM no puede ser más pequeño que $\frac{413}{20} = 20.65$ . Por la definición de divisibilidad, cada elemento de un conjunto es menor o igual que el MCM del conjunto. Si el LCM fuera más pequeño que $20.65$ , entonces la suma de los elementos del conjunto sería menor que $413$ , una contradicción.
El LCM no puede ser $22$ . Un conjunto con diecinueve $22$ s suma más de $413$ . Un conjunto con diecisiete o menos $22$ s suma a menos de $413$ . Solo dos conjuntos tienen exactamente dieciocho $22$ s, LCM de $22$ , y un elemento impar:
$S_{1} = {\underset{18 veces}{\underset{⏟}{22, 22, \dots, 22}}, 2, 11}$ $S_1 = \{\underbrace{22, 22, \dots, 22}_{18\text{ times}}, 2, 11\}$ $S_{2} = {\underset{18 veces}{\underset{⏟}{22, 22, \dots, 22}}, 2, 1}$ $S_2 = \{\underbrace{22, 22, \dots, 22}_{18\text{ times}}, 2, 1\}$ pero la suma de los elementos de $S_1$ es $409$ y la suma de los elementos de $S_2$ es $399$ .

El LCM puede ser $24$ y por lo tanto $24$ es el mínimo mcm posible. Hay varios conjuntos diferentes de números que funcionan, lo que es posible gracias a los abundantes factores de $24$ :

{\underset{dieciséis veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 12, 8, 6, 3}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 8, 6, 3\}$

{\underset{dieciséis veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 12, 8, 8, 1}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 8, 8, 1\}$

{\underset{dieciséis veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 12, 12, 3, 2}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 12, 3, 2\}$

{\underset{dieciséis veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 12, 12, 4, 1}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{16\text{ times}}, 12, 12, 4, 1\}$

{\underset{17 veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 2, 2, 1}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{17\text{ times}}, 2,2,1\}$

{\underset{17 veces}{\underset{⏟}{24, 24, \dots, 24}}, 3, 1, 1}

$\{\underbrace{24, 24, \dots, 24}_{17\text{ times}}, 3,1,1\}$

Editar: ahora, su meta pregunta (común y poco abordada), "¿Cómo?"

Haga preguntas significativas .

Su técnica de resolución de problemas es personal, depende de usted, y diferentes enfoques funcionan mejor o peor en diferentes contextos. Polya sugiere cuatro principios para todos los escenarios de resolución de problemas:

entender el problema
Hacer un plan
Hazlo
Revisar / revisar

Cuando estoy inicialmente estupefacto, trato de hacerme preguntas significativas. Me preguntaba por qué su respuesta se centró en números pares e impares. Me preguntaba qué tenía de especial $42$ y $413$ ? ¿Es importante que ambos sean divisibles por $7$ ? ¿Qué impide que un múltiplo más pequeño de $7$ de trabajar? Si $28$ funciona, ¿por qué no puede funcionar un número aún más pequeño? ¿Qué números definitivamente no pueden funcionar? A partir de las respuestas a mis preguntas secundarias, gané fuerza para comprender la pregunta principal.

Lo que definitivamente es cierto es que para resolver problemas, debe hacer preguntas significativas (y posiblemente humillantes) y luego sobrevivir al circuito de retroalimentación para volver a preguntar.

gracias, pero no estoy tan familiarizado con la redondez (lo leí hace un momento y lo entendí, así que gracias). Además, no estoy buscando una búsqueda exhaustiva, pero sí, buena respuesta y gracias nuevamente.
El tipo de respuesta combinada de álgebra y teoría de números de @ CarlSchildkraut es algo que funciona bien para mí, ya que la búsqueda exhaustiva puede consumir mi tiempo durante la prueba.
Dios mío, había olvidado leer la respuesta completa de Carl... y confundí la tuya con la única con una búsqueda exhaustiva... así que me gustaría decir que lo siento. Sí, gracias por tu respuesta también.
(+1) por su parte de 'hacer preguntas significativas'. Realmente me gustó esta parte.
@DavidDiaz sí, debo haber sido demasiado sutil. Disculpa las molestias y gracias por aportar la parte extra en tu pregunta. Será de gran ayuda para mí y para muchos otros.

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Número de dígitos en 8n8n8^n en base 666

Dado el MCD y el MCM de n enteros positivos, ¿cuántas soluciones hay?

Existencia de un subconjunto tal que el producto de sus elementos es un cuadrado perfecto

Demostrar que no existen PRIMOS EXTREMOS de 5 dígitos.

Demostrar que existe un entero par al final

Un par de grandes preguntas sobre un problema de teoría de números

Mostrando que a2+b2+c2+d2+e2+65=abcdea2+b2+c2+d2+e2+65=abcdea^2+b^2+c^2+d^2+e^2+65=abcde tiene soluciones enteras mayores que 201820182018?

Área del trapezoide dados todos los lados: ¿Por qué es esto un problema de Olimpiada? [cerrado]

Generador triple pitagórico primitivo

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi