Demostrar que no existen PRIMOS EXTREMOS de 5 dígitos.

He estado tratando de encontrar mis propios problemas de matemáticas recientemente y este es uno de mis primeros. Introduce la idea de un primo extremo. Espero que un primo extremo no sea ya una cosa, porque acabo de usar el nombre para describir un número especial. Tengo una solución para el problema, pero me gustaría ver soluciones más inteligentes y recibir comentarios sobre el problema para poder crear mejores soluciones en el futuro.

Un primo extremo es un número tal que todos los números dentro del número son primos, se esperan números de un dígito y el número en sí es primo. Los ejemplos están a continuación para mayor claridad, ya que soy malo para explicar.

Ejemplos:

  • 617 es un primo. También, 61 es primo y 17 es un primo. Por lo tanto 617 es un primo extremo. Nota 6 es compuesto: los dígitos no necesitan ser primos.

  • 1373 es primo También, 13 es primo, 37 es primo, 73 es primo, 137 es primo, 373 es primo Por lo tanto 1317 es un primo extremo. Hecho de la diversión: 373 es también el único 3 dígitos primos extremos donde los dígitos son primos, así que supongo que debe ser ultraprimo.

La cuestión es probar que no 5 existe un dígito primo extremo. Espero con ansias algunos comentarios y algunas formas en que pueda expresar lo que es un primo extremo, espero que sea divertido de resolver.

Algunos otros hechos que noté al verificar mi prueba con python (para los cuales no tengo una prueba): es posible que desee intentar probarlos.

  • A 3 dígito primo extremo no puede contener un 2 , 8 o 5 .

  • A 4 dígito primo extremo no puede contener un 2 , 8 , 5 o 4 .

  • A 4 número primo extremo nunca comienza con 7 .

Un buen número de superprimos (primos que ocupan posiciones de números primos en la secuencia de todos los números primos) son números primos extremos. ¿Puedes encontrarlos todos y crear el conjunto de números primos de todos los tiempos?

Esto suena estrechamente relacionado con los números primos "truncables". Consulte mathworld.wolfram.com/TruncatablePrime.html , por ejemplo.
La gente se refiere a números primos truncables. Ellos no son los mismos. Dicho número de la pregunta debería ser truncable por la derecha, truncable por la izquierda y tener números primos en el medio de los dígitos. ¿No está seguro de por qué estas preguntas están relacionadas? Si las pruebas son matemáticamente similares, lo entendería, ¿es este el caso?
@ScuffedNewton, tiene toda la razón en que sus primos "extremos" no son literalmente lo mismo que los primos "truncables", pero son un subconjunto de la intersección de los primos truncables por la izquierda y la derecha, y dado que esos conjuntos son ambos finito, también lo es el conjunto de primos extremos.
Debo agregar que podría ser posible probar el resultado que busca sin hacer uso de lo que se sabe sobre los números primos truncables. Por lo tanto, no pretendo sugerir que no valga la pena seguir con su noción de prima "extrema". Es una buena idea, de hecho. Felicitaciones por pensar en ello.
Con el retroceso, probablemente podamos encontrar todos esos números primos. No creo que el número de tales números primos exceda 10 mucho, si esto se alcanza en absoluto.
@ Barry Cipra, ese enlace que adjuntó dice que hay una cantidad limitada de primos truncables derecho/izquierdo. Además, no son necesariamente intersecciones, ya que los dígitos no necesitan ser primos, por lo tanto, el primer y el último dígito pueden ser compuestos, pero deben ser primos para que sean truncables. Otra cosa es que si tomamos el número 1373, ninguna condición truncable requiere que 37 sea primo, pero el extremo primo sí. Si bien algunos términos son iguales, los primos extremos incluyen y excluyen algunos otros términos debido a los puntos anteriores.
@ Barry Cipra, por ejemplo, 1373 es truncable por la derecha pero no por la izquierda, pero es extremo. 373 es truncable por la derecha, truncable por la izquierda y extremo. Algunos números pueden ser truncables por izquierda y derecha, pero no extremos.
@ScuffedNewton, buen punto. Estoy corregido. Lo siento, debería haber comparado las definiciones más de cerca.
@Peter, hay bastantes, sé que no hay 5 dígitos, la prueba se presta a decir que 4 es el máximo. Todos los números primos de 2 dígitos son extremos según la definición, y los números primos de un dígito no pueden ser extremos. Aquí están todos los dígitos 3 y 4: 113 131 137 173 179 197 311 313 317 373 379 419 431 479 613 617 619 673 719 797 971, 1373, 3137, 3797, 6131, 61973
@ScuffedNewton 1373 ES truncable por la izquierda. Supongo que quisiste decir que 1373 no es CORRECTO - truncable porque 1 obviamente no lo es

Respuestas (1)

Dejar pag = d 1 d 2 … d norte frijol norte -dígito primo con dígitos d i . Podemos definir recursivamente un primo "extremo" de la siguiente manera: Si norte = 2 , entonces pag es un primo extremo; si norte > 2 entonces pag es extremo si y solo si los truncamientos d 1 d 2 … d norte − 1 y d 2 … d norte ambos son números primos extremos.

No es difícil ver que solo hay diez 2 números primos de dos dígitos que pueden ocurrir en el interior de un norte -dígito primo extremo (con norte ≥ 4 , para que haya un "interior" adecuado:

11 , 13 , 17 , 19 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97

Cada uno de estos se puede extender en cualquier lado para dar un 3 -dígito primo extremo, pero solo seis de ellos pueden extenderse en ambos lados para dar un 4 -dígito primo extremo. Como informa el OP, el 4 Los primos extremos de dos dígitos son

1373 , 3137 , 3797 , 6131 , 6197 , 9719

La única extensión posible a un 5 -número de dígitos cuyos truncamientos de nuevo a cuatro dígitos pertenecen a esta lista es 31373 . (Por ejemplo, 3797 no se puede extender a la izquierda porque ninguno de los 4 Los primos extremos de dos dígitos son de la forma d 1 379 , y no se puede extender por la derecha porque ninguno de los 4 Los primos extremos de dos dígitos son de la forma 797 d 4 .) Pero 31373 = 137 ⋅ 229 no es primo. entonces no hay 5 primos extremos de dos dígitos (por lo tanto, no hay primos extremos con más de 5 dígitos también).

Observación: La parte más difícil de esta prueba es la parte que hizo el OP, es decir, identificar los seis 4 primos extremos de dos dígitos. No veo ninguna manera fácil de llegar a esos seis sin un tedioso análisis caso por caso. Si alguien puede pensar en una buena manera de simplificar las cosas, estaría ansioso por verla.

Demostrar que no existen PRIMOS EXTREMOS de 5 dígitos.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v