Notación de corchetes para la parte antisimétrica de un tensor

Yo sé eso A [ a B b ] = 1 2 ! ( A a B b − A b B a )

Pero como se puede escribir mi [ a F b C ] como el de arriba?

¿Puede proporcionar una referencia donde se discuta este asunto de notación?

¿Puede proporcionar una referencia donde se discuta este asunto de notación? Consulte lightandmatter.com/html_books/genrel/ch04/ch04.html#Section4.6 (subsección 4.6.2) y lightandmatter.com/html_books/genrel/ch05/ch05.html#Section5.8 (subsección 5.8.2)
Comentario a la pregunta (v2): Tenga cuidado de que algunos autores no incluyen el factor de normalización 1 norte ! en la definición de A [ a 1 ⋯ a norte ] , en particular en el caso más común norte = 2 , en analogía con el conmutador [ A , B ] = A B − B A

Respuestas (3)

La parte antisimétrica se define como

A [ a 1 ⋯ a norte ] = 1 norte ! ∑ σ ∈ PAG ( norte ) firmar ( σ ) A a σ ( 1 ) ⋯ a σ ( norte )
dónde PAG ( norte ) es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto { 1 , ⋯ , norte } . firmar ( σ ) se llama el signo de la permutación y es positivo de σ se obtiene de la identidad σ 0 = { 1 , ⋯ , norte } ∈ PAG ( norte ) utilizando un número par de intercambios y negativo en caso contrario.

Aplicando esto a norte = 3 , encontramos

PAG ( 3 ) = { { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 3 , 2 } , { 2 , 1 , 3 } , { 3 , 2 , 1 } , { 2 , 3 , 1 } , { 3 , 1 , 2 } }
con signos
firmar ( σ ) = { 1 , − 1 , − 1 , − 1 , 1 , 1 }
Luego encontramos
A [ a 1 a 2 a 3 ] = 1 3 ! ( A a 1 a 2 a 3 + A a 3 a 1 a 2 + A a 2 a 3 a 1 − A a 1 a 3 a 2 − A a 2 a 1 a 3 − A a 3 a 2 a 1 )

+1: como nota de notación, personalmente creo que es un poco menos confuso (y más estándar) para denotar el signo de una permutación σ como s gramo norte ( σ ) que entonces es igual ( − 1 ) metro dónde metro es el número de inversiones en la descomposición de σ como producto de transposiciones. Ver, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation

Esto está parafraseando a Wald - Relatividad General, sección 2.4. antisimetrizante norte índices significa sumar todas las permutaciones de los índices, multiplicado por el signo de cada permutación. Puesto que hay norte ! permutaciones, es una convención sensata dividir por norte ! (no todos los autores hacen esto).

Para su ejemplo, hay 3 ! = 6 permutaciones de ( a b C ) . Los pares son simplemente ( a b C ) , ( b C a ) y ( C a b ) , mientras que los impares son ( a C b ) , ( C b a ) y ( b a C ) . Entonces

mi [ a F b C ] = 1 6 [ mi a F b C + mi b F C a + mi C F a b − mi a F C b − mi b F a C − mi C F b a ] .

Si nunca ha oído hablar de la distinción entre permutaciones pares e impares, debe abrir un libro de texto sobre teoría de grupos de pregrado: es fácil de entender, pero requiere bastante espacio para hacer la prueba explícita de que es una cosa bien definida. y necesita comprender la estructura del grupo de permutación S norte .

Yo uso el siguiente método:

T [ i j k ]

Establecer índices en determinante

| i j k i j k i j k | = i j k + j k i + k i j − i k j − j i k − k j i .

A continuación, aplique 6 índices e inicie sesión T , por lo que obtenemos

T [ i j k ] = 1 3 ! ( T i j k + T j k i + T k i j − T i k j − T j i k − T k j i ) .

Entonces, ¿cómo se traduce esto en mi [ a F b C ] ?
Se puede hacer por el mismo método; aplicar [ a b C ] → a b C + b C a + C a b − a C b − b a C − C b a a mi [ a F b C ] y obtenemos mi [ a F b C ] = 1 3 ! ( mi a F b C + mi b F C a + mi C F a b − mi a F C b − mi b F a C − mi C F b a ) .
El punto que estaba tratando de hacer era que su respuesta sería mejor si hiciera esa conexión más explícita (aunque al revisar esto, no pude ver las otras respuestas que también descuidan este paso)
Notación de corchetes para la parte antisimétrica de un tensor
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