Confusión sobre la notación de corchetes en el símbolo delta de Kronecker

Question

Confusión sobre la notación de corchetes en el símbolo delta de Kronecker

Física
notación
conmutador
convenciones
cálculo tensorial

Marion

No estoy seguro de entender lo que significa la antisimetrización abreviada. es decir, sé que

d_{C d}^{[a b]} = \frac{1}{2} (d_{C}^{a} d_{d}^{b} - d_{C}^{b} d_{d}^{a})

$\delta_{cd}^{[ab]} ~=~ \frac{1}{2}(\delta_{c}^{a}\delta_{d}^{b} - \delta_{c}^{b}\delta_{d}^{a})$ pero, ¿cómo expandimos los análogos "más grandes"? Es decir

d_{b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}}^{[a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}]} = ?

$\delta_{b_1 b_2 b_3 b_4}^{[a_1 a_2 a_3 a_4]} ~=~ ?$

¿Cuál es el orden de permutación en este caso?

Respuestas (1)

Confusión sobre la notación de corchetes en el símbolo delta de Kronecker

qmecanico · Answer 1

d_{v_{1} v_{2} \dots v_{norte}}^{[m_{1} m_{2} \dots m_{norte}]} = \frac{1}{norte!} \sum_{π \in S_{norte}} s gramo norte (π) \prod_{i = 1}^{norte} d_{v_{i}}^{m_{π (i)}} .

$\delta^{[\mu_1\mu_2\ldots \mu_n]}_{\nu_1\nu_2\ldots \nu_n}~=~ \frac{1}{n!}\sum_{\pi\in S_n}{\rm sgn(\pi)} \prod_{i=1}^n \delta^{\mu_{\pi(i)}}_{\nu_i}.$

Más generalmente,

T^{[m_{1} m_{2} \dots m_{norte}]} = \frac{1}{norte!} \sum_{π \in S_{norte}} s gramo norte (π) T^{m_{π (1)} m_{π (2)} \dots m_{π (norte)}} .

$T^{[\mu_1\mu_2\ldots \mu_n]}~=~ \frac{1}{n!}\sum_{\pi\in S_n}{\rm sgn(\pi)} T^{\mu_{\pi(1)}\mu_{\pi(2)}\ldots \mu_{\pi(n)}}.$

Aquí $S_n$ es el grupo simétrico de permutaciones, y $\pi\in S_n$ es una permutación con firma ${\rm sgn(\pi)}$ . el orden de $S_n$ es

| S_{norte} | = norte! .

$|S_n|~=~n!~.$

Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

@Qmechanic: le sugiero que escriba un ejemplo explícito tal vez para $n=3$ o $n=4$ .
Lo tengo. Es bastante largo escribir para $n=4$ o incluso para $n=3$ . Ya lo hice y gracias por las respuestas.
@Marion: Perfecto, eso me ahorra la molestia de escribirlo. Para $n=3$ , véase también la respuesta de Prahar .

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