Notación compleja de ondas planas

Question

Notación compleja de ondas planas

ondas
Física
electromagnetismo
Transformada de Fourier
ecuaciones de maxwell

Caos

Hasta donde yo sé, la función:

\vec{mi} (\vec{r}, t) = \vec{{mi}_{0}} \cdot {mi}^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} (1)

$\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E_0}\cdot e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)} \hspace{2cm}(1)$

es una solución matemática de la ecuación de onda:

\nabla^{2} \vec{mi} = m ε \frac{\partial^{2} \vec{mi}}{\partial t^{2}}

$\nabla^2 \vec{E}=\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

si y solo si $\omega$ satisface la relación de dispersión:

ω (k) = \frac{k}{\sqrt{m ε}}

$\omega(k)=\frac{k}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ Anteriormente escribí "matemático" porque la función compleja

(1)

$(1)$ no tiene significado físico, si queremos tener una función físicamente significativa tenemos que tomar la parte real de (1)

\vec{mi} (\vec{r}, t) = \vec{{mi}_{0}} \cdot porque (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

$\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E_0}\cdot \cos(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)$

Hasta ahora no debería haber ningún problema. El problema surge cuando considero un paquete de ondas 1D.

Usando la notación compleja: el paquete de ondas inicial viene dado por:

mi (X, t = 0) = {mi}^{- \frac{(X - X_{C})^{2}}{2 σ^{2}}} \cdot {mi}^{i k_{C} X}

$E(x,t=0)=e^{-\frac{(x-x_c)^2}{2\sigma^2}}\cdot e^{i k_{\text{c}}x}$ donde esta la dermis

e^{i k_{c} x}

$e^{i k_{\text{c}}x}$ deriva del hecho de que el paquete de ondas inicial es un paquete de ondas en movimiento y no estático.

Su evolución temporal puede determinarse mediante una transformada de Fourier.

Indiquemos con $g(k)$ la transformada de Fourier del paquete de ondas inicial:

gramo (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} mi (X, t = 0) \cdot {mi}^{- i k X} d X

$g(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}E(x,t=0)\cdot e^{-ikx}dx$ Entonces, usando el hecho de que cada componente de los espectros evoluciona de acuerdo a un

ω (k)

$\omega(k)$ , puedo determinar la evolución temporal:

mi (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} gramo (k) {mi}^{i (k X - ω (k) t)} d k (2)

$E(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{i(kx-\omega(k) t)}dk \hspace{20mm}(2)$

Finalmente, según lo dicho anteriormente, si estoy interesado en cantidades físicas como la evolución temporal de la amplitud, tengo que tomar la parte real de (2):

{mi}_{física} (X, t) = ℜ [\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} gramo (k) {mi}^{i (k X - ω (k) t)} d k] (3)

$E_{\text{phys}}(x,t)=\Re \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{i(kx-\omega(k) t)}dk\right]\hspace{20mm}(3)$

Razonando sobre el significado físico paso a paso

La condición inicial es un paquete de ondas de valor real:

{mi}_{r} (X, t = 0) = ℜ [{mi}^{- \frac{(X - X_{C})^{2}}{2 σ^{2}}} \cdot {mi}^{i k_{C} X}] = {mi}^{- \frac{(X - X_{C})^{2}}{2 σ^{2}}} \cdot porque (k_{C} X)

$E_r(x,t=0)=\Re\left[e^{-\frac{(x-x_c)^2}{2\sigma^2}}\cdot e^{i k_{\text{c}}x}\right]=e^{-\frac{(x-x_c)^2}{2\sigma^2}}\cdot\cos(k_{\text{c}}x)$ entonces, debido a que estoy interesado en determinar la evolución temporal del paquete de ondas, realizo una transformada de Fourier del paquete de ondas inicial:

{gramo}_{r} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}_{r} (X, t = 0) \cdot {mi}^{- i k X} d X

$g_r(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}E_r(x,t=0)\cdot e^{-ikx}dx$ donde ahora

g_{r} (k)

$g_r(k)$ Esta podría ser una función de valor complejo, pero esto no me duele porque esta función vive en el espacio k y estoy interesado en tener una función real solo en el espacio x. El problema es que si evoluciono

g_{r} (k)

$g_r(k)$ en la función en el espacio de Fourier multiplicándola por

e^{- i ω (k) t}

$e^{-i\omega(k) t}$ y luego regreso en el espacio x antitransforming:

{mi}_{r} (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {gramo}_{r} (k) {mi}^{i (k X - ω (k) t)} d k (4)

$E_r(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g_r(k)e^{i(kx-\omega(k) t)}dk \hspace{20mm}(4)$
Obtengo que (4) es una función cuya amplitud se vuelve cero en un tiempo muy rápido, un comportamiento muy diferente al de (3). ¿Alguien podría darme una explicación de eso, o alguna referencia en la que se explique bien la notación compleja?

una mente curiosa

Me temo que soy incapaz de discernir la diferencia entre (3) y (4). ¿Por qué dices que la amplitud de (4) se vuelve cero?

nikos m.

Ok, los números complejos (o cualquier otro número o vector) son solo una forma de modelar datos (físicos) cuando se pueden usar de esta manera. Entonces, en este sentido, los números complejos son tan reales como los números reales. Creo que el problema surge del hecho de que al usar la parte real a priori en realidad se refiere a otro problema, ya que por la linealidad de diff. ec. la solución es una superposición de ambos

c o s

$cos$ y

s i n

$sin$ (que mantiene la representación compleja). Cuando uno usa la parte real al final es equivalente a

R e (z) = 1 / 2 (z + z^{*})

$Re(z) = 1/2(z + z^{*})$ y esto aclara el significado físico, selecciona las ondas retardadas

jamals

Consejo de LaTeX: puedes usar \Re y \Im para indicar partes reales e imaginarias respectivamente.

Respuestas (1)

Notación compleja de ondas planas

Me temo que soy incapaz de discernir la diferencia entre (3) y (4). ¿Por qué dices que la amplitud de (4) se vuelve cero?
Ok, los números complejos (o cualquier otro número o vector) son solo una forma de modelar datos (físicos) cuando se pueden usar de esta manera. Entonces, en este sentido, los números complejos son tan reales como los números reales. Creo que el problema surge del hecho de que al usar la parte real a priori en realidad se refiere a otro problema, ya que por la linealidad de diff. ec. la solución es una superposición de ambos $cos$ y $sin$ (que mantiene la representación compleja). Cuando uno usa la parte real al final es equivalente a $Re(z) = 1/2(z + z^{*})$ y esto aclara el significado físico, selecciona las ondas retardadas
Consejo de LaTeX: puedes usar \Re y \Im para indicar partes reales e imaginarias respectivamente.

arcocosh · Answer 1

Tome la ecuación de onda

\nabla^{2} \vec{mi} = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{mi}}{\partial t^{2}},

$\nabla^2\vec{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2},$ y deja

\vec{E} (\vec{r}, t)

$\vec{E}(\vec{r},t)$ ser una solución. De hecho tomando la parte real

ℜ (\vec{E} (\vec{r}, t))

$\Re(\vec{E}(\vec{r},t))$ produce los valores físicos significativos.

Los valores iniciales en $t = 0$ son $\Re(\vec{E}(\vec{r},0))$ y el problema surge aquí: ¡esto no le brinda suficiente información para predecir la evolución futura del campo!

Por ejemplo, considere el caso 1D con:

\begin{aligned} F_{1} (X, t) & = {mi}^{i (k X - ω t)}, \\ F_{2} (X, t) & = porque (k X - ω t) . \end{aligned}

$\begin{align} f_1(x,t) &= e^{i(kx-\omega t)}, \\ f_2(x,t) &= \cos(kx - \omega t). \end{align}$

Tenga en cuenta que $\Re(f_1(x,0)) = \Re(f_2(x,0)) = \cos(kx)$ . Por lo tanto, las dos funciones tienen los mismos valores iniciales en $t = 0$ , sin embargo, evolucionan de manera diferente como $t$ progresa

Para especificar completamente el estado inicial de una solución, necesitaría $\Re(\vec{E}(\vec{r},0))$ y ~~uno de~~ además:

$\Im(\vec{E}(\vec{r},0))$ ,
$\Re(\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}(\vec{r},0))$ ,
$\Im(\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}(\vec{r},0))$ . [Agregado en Edición 2].

En su cálculo, el momento en que tomó $\Re(\vec{E}(\vec{r},0))$ y aplicó la transformada de Fourier, ha estipulado implícitamente $\Im(\vec{E}(\vec{r},0)) = 0$ . Por lo tanto, cambió el estado inicial a otra cosa, por lo que, por supuesto, terminaría con una solución diferente.

Por qué necesito $\Im(\vec{E}(\vec{r},0))$ y $\Im(\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}(\vec{r},0))$ para especificar el estado inicial? Que yo sepa, la parte imaginaria no tiene significado físico.
Su paquete de ondas es complejo, por lo que tomar la parte real alteró el resultado. Mientras tanto, sí, la ecuación diferencial funciona bien cuando todo es real. Sin embargo, las funciones propias del operador $\nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$ son complejos; por lo tanto, la descomposición modal necesitaría un número complejo. Entonces, también podemos ver las soluciones en su gloria compleja y tratar las señales reales como un caso especial donde las partes imaginarias son 0.
Mientras tanto, el paquete de ondas también se ve mucho para la ecuación de Shrodinger de una partícula libre. En este caso, la parte compleja se vuelve esencial porque la derivada temporal es de primer orden y no hay libertad para especificar la derivada temporal inicial. En este caso, la parte imaginaria interactúa con la parte real y afecta las direcciones de propagación.

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