¿Es imposible descomponer la onda plana EM en ondas esféricas? (desajuste de normalización)

Question

¿Es imposible descomponer la onda plana EM en ondas esféricas? (desajuste de normalización)

fotónQ

Tengo un problema con una expansión que debería ser simple. Digamos que resuelvo las ecuaciones de Maxwell en el vacío, pero en coordenadas esféricas. Las soluciones de la familia TM se pueden encontrar fácilmente para ser

{mi}_{yo metro}^{T METRO} (k; r) \propto \sqrt{yo} j_{yo + 1} (k r) V_{yo}^{metro} (θ, ϕ) - \sqrt{yo + 1} j_{yo - 1} (k r) W_{yo}^{metro} (θ, ϕ),

$E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r}) \propto \sqrt{l}j_{l+1}(kr)\mathbf{V}^m_l(\theta,\phi)-\sqrt{l+1}j_{l-1}(kr)\mathbf{W}^m_l(\theta,\phi),$ dónde

l = 1, 2, 3, . . .

$l=1,2,3,...$ ,

m = - l, . . ., l

$m=-l,...,l$ ,

k = ω / c

$k=\omega/c$ es el vector de onda,

j_{l} (z)

$j_l(z)$ es la función esférica de Bessel de orden

l

$l$ , y la dependencia angular viene dada por combinaciones de armónicos esféricos vectoriales (no importante para este post). Se puede encontrar una solución similar para los modos TE.

Ahora, supongamos que tengo una onda plana $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ que quiero expandir en términos de los modos propios anteriores en coordenadas esféricas. Más específicamente, si la energía eléctrica de dicha onda plana es $U = \int dV \epsilon_0\vert \mathbf{E}\vert^2/2 = \epsilon_0 \vert \mathbf{E}_0\vert^2V/2$ , me pregunto cuánto de esa energía se encuentra en el modo propio esférico $TM_{klm}$ . Suponiendo que la onda plana se descompone como

mi = \sum_{yo metro} \sum_{σ} C_{yo metro} {mi}_{yo metro}^{σ} (k; r),

$\mathbf{E} = \sum_{lm}\sum_\sigma c_{lm} E^{\sigma}_{lm}(k;\mathbf{r}),$ con

σ = T M, T E

$\sigma = TM,TE$ , podemos encontrar fácilmente que la fracción de la energía que va a la

T M_{k l m}

$TM_{klm}$ el modo es

F = \frac{1}{| {mi}_{0} |^{2} V} {(\int d V {mi}_{0} {mi}^{- i k r} \cdot \frac{{mi}_{yo metro}^{T METRO} (k; r)}{\sqrt{\int d V | {mi}_{yo metro}^{T METRO} (k; r) |^{2}}})}^{2} .

$F = \frac{1}{\vert \mathbf{E}_0\vert^2V}\left(\int dV \mathbf{E_0}e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\cdot \frac{E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})}{\sqrt{\int dV \vert E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})\vert^2}}\right)^2.$ Ahora, las integrales angulares son

r -

$r-$ independiente, y la dependencia integral radial es fácil de encontrar como

\underset{R \to \infty}{límite} \int_{0}^{R} d r r^{2} j_{λ}^{2} (k r) \to \frac{π R}{2 k^{2}} \propto V^{1 / 3},

$\lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 j_\lambda^2(kr)\to \frac{\pi R}{2 k^2} \propto V^{1/3},$

\underset{R \to \infty}{límite} \int_{0}^{R} d r r^{2} \int d θ d ϕ {mi}^{- i k r} \cdot {mi}_{yo metro}^{T METRO} (k; r) \propto \underset{R \to \infty}{límite} \int_{0}^{R} d r r^{2} j_{λ}^{2} (k r) \to \frac{π R}{2 k^{2}} \propto V^{1 / 3},

$\lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 \int d\theta d\phi e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\cdot E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})\propto \lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 j_\lambda^2(kr)\to \frac{\pi R}{2 k^2} \propto V^{1/3},$ para cualquier

λ

$\lambda$ . Entonces, la fracción que buscamos es

F \propto V^{- \frac{2}{3}} \to 0

$F \propto V^{-\frac{2}{3}} \to 0$ en el límite del volumen infinito.

Esto sucede para todos los modos, y está relacionado con el hecho de que la normalización del modo en coordenadas cartesianas es proporcional a $V$ mientras que en coordenadas esféricas es proporcional a $V^{1/3}$ . Esto me hace pensar que no es posible expandir una onda plana cartesiana en ondas esféricas, pero esto tiene que estar mal basado en argumentos físicos.

¿Alguien sabe dónde estoy cometiendo un error? ¿O me he topado con alguna limitación real de las coordenadas esféricas vs cartesianas? Si es así, ¿cuál es la intuición física detrás de que no sea posible expandir una onda plana electromagnética en ondas esféricas?

¡Gracias!

Emilio Pisanty

Esto es ciertamente posible para una onda escalar y sus problemas no parecen ser específicos del caso vectorial, por lo que sospecho que se trata del método que está utilizando, pero no entiendo completamente su estrategia, así que no puedo estar seguro Intentaría algo similar al caso escalar (descomponer la dependencia espacial de cada componente y luego unir el aspecto vectorial con la dependencia angular, y buscar una conexión con los armónicos vectoriales) pero se ve desordenado y menos natural que para el caso escalar.

fotónQ

Tienes razón, podría haber planteado el problema en términos de una onda escalar. En tal caso, las expresiones son más simples pero el problema persiste. Si tomo la expresión de tu enlace,

fotónQ

Tiene razón, para una onda escalar, las expresiones son más simples, pero el problema persiste: si tomo la expresión de su enlace (en el sistema de coordenadas polares 2D),

{mi}^{i k r} = \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- i)^{norte} j_{norte} (k r) {mi}^{i norte θ},

$e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta},$ Encuentro que la dependencia de la norma con el área todavía varía. Por un lado,

\int_{0}^{\infty} d r d θ r | {mi}^{i k r} |^{2} = \underset{R \to \infty}{límite} π R^{2},

$\int_0^\infty drd\theta r \vert e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} \vert^2 = \lim_{R\to\infty} \pi R^2,$ y por otro lado,

\int d r d θ r | \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- i)^{norte} j_{norte} (k r) {mi}^{i norte θ} |^{2} \propto \underset{R \to \infty}{límite} \frac{R}{2 k} .

$\int drd\theta r \vert \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta}\vert^2\propto \lim_{R\to\infty} \frac{R}{2k}.$

Emilio Pisanty

Para ser honesto, no tengo idea de lo que estás haciendo allí, y no hay suficientes detalles para evaluar completamente. Es probable que esos dos integrandos sean idénticos, por lo que si los está integrando y obtiene resultados diferentes, entonces el problema está en la integración. Para ir más allá, tendría que explicar con más profundidad cómo los está calculando, y la configuración de onda escalar le permitiría entrar en más detalles sobre las integraciones.

Respuestas (1)

¿Es imposible descomponer la onda plana EM en ondas esféricas? (desajuste de normalización)

Esto es ciertamente posible para una onda escalar y sus problemas no parecen ser específicos del caso vectorial, por lo que sospecho que se trata del método que está utilizando, pero no entiendo completamente su estrategia, así que no puedo estar seguro Intentaría algo similar al caso escalar (descomponer la dependencia espacial de cada componente y luego unir el aspecto vectorial con la dependencia angular, y buscar una conexión con los armónicos vectoriales) pero se ve desordenado y menos natural que para el caso escalar.
Tienes razón, podría haber planteado el problema en términos de una onda escalar. En tal caso, las expresiones son más simples pero el problema persiste. Si tomo la expresión de tu enlace,
Tiene razón, para una onda escalar, las expresiones son más simples, pero el problema persiste: si tomo la expresión de su enlace (en el sistema de coordenadas polares 2D), ${mi}^{i k r} = \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- i)^{norte} j_{norte} (k r) {mi}^{i norte θ},$ $e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta},$ Encuentro que la dependencia de la norma con el área todavía varía. Por un lado, $\int_{0}^{\infty} d r d θ r | {mi}^{i k r} |^{2} = \underset{R \to \infty}{límite} π R^{2},$ $\int_0^\infty drd\theta r \vert e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} \vert^2 = \lim_{R\to\infty} \pi R^2,$ y por otro lado, $\int d r d θ r | \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- i)^{norte} j_{norte} (k r) {mi}^{i norte θ} |^{2} \propto \underset{R \to \infty}{límite} \frac{R}{2 k} .$ $\int drd\theta r \vert \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta}\vert^2\propto \lim_{R\to\infty} \frac{R}{2k}.$
Para ser honesto, no tengo idea de lo que estás haciendo allí, y no hay suficientes detalles para evaluar completamente. Es probable que esos dos integrandos sean idénticos, por lo que si los está integrando y obtiene resultados diferentes, entonces el problema está en la integración. Para ir más allá, tendría que explicar con más profundidad cómo los está calculando, y la configuración de onda escalar le permitiría entrar en más detalles sobre las integraciones.

elio fabri · Answer 1

$\def\bk{{\bf k}} \def\br{{\bf r}} \let\th=\vartheta \let\phi=\varphi \let\d=\delta$ Ya ha visto que el problema también está presente para una onda escalar, así que examinemos este caso, que lleva a fórmulas mucho más simples. La expansión de ondas esféricas de una onda plana es

{mi}^{i k \cdot r} = 4 π \sum_{yo = 0}^{\infty} \sum_{metro = - yo}^{yo} i^{yo} j_{yo} (k r) {Y_{yo}^{metro}}^{*} (α, β) Y_{yo}^{metro} (ϑ, φ) .

$e^{i\,\bk\cdot\br} = 4\pi \sum_{l=0}^\infty\,\sum_{m=-l}^l i^l j_l(kr)\,{Y_l^m}^*(\alpha,\beta)\,Y_l^m(\th,\phi).$ Si intentas normalizar la onda plana

e^{i k \cdot r}

$e^{i\,\bk\cdot\br}$ y la onda esférica

j_{l} (k r) Y_{l}^{m} (ϑ, φ)

$j_l(kr)\,Y_l^m(\th,\phi)$ te metes en problemas cuando tomas límites.

La física detrás es la siguiente. Una onda plana tiene una densidad de energía uniforme en todo el espacio, y tiene sentido hablar de la energía contenida en un volumen $V$ , por ejemplo, un cubo de lado $L$ . Pero este no es el caso de la onda esférica, que tiene un centro y se debilita a medida que se aleja de él. asintóticamente, $j_l(kr)\sim1/r$ . Puede restringir la onda en una cavidad esférica de radio $R$ , entonces deja $R$ ir al infinito. Pero las dos cajas (cúbica y esférica) no encajan.

La salida es usar $\delta$ normalización _ No sé si está familiarizado con este dispositivo matemático y no puede profundizar en el asunto. Las normalizaciones habituales son:

Si $\psi_{\bk_1}(\br)$ , $\psi_{\bk_2}(\br)$ son ondas planas con vectores de onda $\bk_1$ , $\bk_2$
$\int ψ_{k_{1}} (r)^{*} ψ_{k_{2}} (r) d^{(3)} r = d^{(3)} (k_{1} - k_{2})$ $\int\!\psi_{\bk_1}(\br)^*\,\psi_{\bk_2}(\br)\,d^{(3)}\br = \d^{(3)}(\bk_1-\bk_2)$ y $ψ_{k} (r) = (2 π)^{- 3 / 2} {mi}^{i k \cdot r} .$ $\psi_{\bk}(\br) = (2\pi)^{-3/2} e^{i \bk\cdot\br}.$
Si $\chi_{l_1}^{m_1}(k_1;r,\th,\phi)$ , $\chi_{l_2}^{m_2}(k_2;r,\th,\phi)$ son ondas esféricas con vectores de onda $k_1$ , $k_2$ y modos multipolares $l_1,m_1$ , $l_2,m_2$ , entonces
$\int x_{{yo}_{1}}^{{metro}_{1}} (k_{1}; r, ϑ, φ)^{*} x_{{yo}_{2}}^{{metro}_{2}} (k_{2}; r, ϑ, φ) r^{2} d r pecado ϑ d ϑ d φ = d (k_{1} - k_{2}) d_{{yo}_{1} {yo}_{2}} d_{{metro}_{1} {metro}_{2}} .$ $\int\!\chi_{l_1}^{m_1}(k_1;r,\th,\phi)^*\, \chi_{l_2}^{m_2}(k_2;r,\th,\phi)\> r^2 dr\,\sin\th\,d\th\,d\phi = \d(k_1-k_2)\,\d_{l_1l_2}\,\d_{m_1m_2}.$ y $x_{yo}^{metro} (k; r, ϑ, φ) = \frac{i^{yo}}{k} j_{yo} (k r) Y_{yo}^{metro} (ϑ, φ) .$ $\chi_l^m(k;r,\th,\phi) = {i^l \over k}\,j_l(kr)\,Y_l^m(\th,\phi).$

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Emilio Pisanty

fotónQ

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Emilio Pisanty

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