Matemáticas de representaciones fasoriales de variaciones sinusoidales de campos

Entonces, ¿sería la parte real?$\mathbf{e}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}(\mathbf{r})$?

• $\mathbf{e}(\mathbf{r}, t) = Re[\mathbf{E}(\mathbf{r})e^{j \omega t}] = \mathbf{E}(\mathbf{r}) \cos(\omega t)$ya es real

¿Cómo tratamos con la derivada parcial?$\dfrac{\partial{\mathbf{e}}}{\partial{t}}$?

• $\dfrac{\partial \mathbf e}{\partial t} = \dfrac{\partial \ (\mathbf{E}(\mathbf{r}) \cos(\omega t))}{\partial t} = - \omega \mathbf{E}(\mathbf{r}) \sin(\omega t)$

Si aún no has tomado la parte real,

$$\dfrac{\partial \mathbf e}{\partial t} = \dfrac{\partial \ (\mathbf{E}(\mathbf{r}) \exp(j \omega t))}{\partial t} = j \omega \mathbf{E}(\mathbf{r}) \exp(j \omega t) = \omega \mathbf{E}(\mathbf{r})[-\sin(\omega t) + j \cos(\omega t)]$$ cuya parte real seguirá siendo$-\omega \mathbf E(\mathbf r) \sin(\omega t)$. El orden realmente no importa.

• De hecho, este truco se usa muchas veces al resolver osciladores acoplados. Es mucho más fácil de tratar$\exp(j\omega t)$que$\sin$y$\cos$al diferenciar.

la verdadera parte de${\mathbf e}({\mathbf r})={\mathbf E}({\mathbf r})e^{j\omega t}$es${\mathbf E}({\mathbf r})\cos (\omega t)$, suponiendo, como es convencional, que${\mathbf E}({\mathbf r})$es real.

La derivada temporal parcial

$$\frac{\partial {\mathbf e}}{\partial t} = \omega{\mathbf E}({\mathbf r})\left[ -\sin(\omega t) + j\cos(\omega t)\right]$$

Entonces, si diferencia la parte real de${\bf e}$o tomar la parte real de$\partial {\bf e}/\partial t$, No hace diferencia.