El papel de la constante de separación al resolver la ecuación de onda para ondas electromagnéticas y el número de onda de corte

Question

El papel de la constante de separación al resolver la ecuación de onda para ondas electromagnéticas y el número de onda de corte

Eduardo

Tengo la siguiente ecuación de onda que necesito ayuda para resolver a través de la separación de variables:

\nabla^{2} mi + k^{2} mi = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$ Donde E es el campo eléctrico y k es el número de onda

Usando separación de variables para cada componente:

{mi}_{i} (X, y, z) = F (X) gramo (y) h (z), donde i = x , y , z

$E_i(x,y,z) = f(x)g(y)h(z) \text{ , where i = x , y , z}$

Para un solo componente:

(F_{X X}) (gramo) (h) + (F) ({gramo}_{y y}) (h) + (h_{z z}) + k^{2} (F gramo h) = 0

$(f_{xx})(g)(h) + (f)(g_{yy})(h) + (h_{zz}) + k^2(fgh) = 0$

o

F_{X X} / F + {gramo}_{y y} / gramo + h_{z z} / h + k^{2} = 0

$f_{xx}/f + g_{yy}/g + h_{zz}/h + k^2 = 0$

Mi lector de física se salta un montón de pasos y lo escribe como 3 ecuaciones separadas:

F_{X X} / F = - k_{X}

$f_{xx}/f = -k_x$

{gramo}_{y y} / gramo = - k_{y}

$g_{yy}/g = -k_y$

h_{z z} / h = - k_{z}

$h_{zz}/h = -k_z$

y define el vector de número de onda k . Creo que asumimos una solución compleja ya que obtenemos un resultado final de:

mi = {mi}^{- k \circ r}

$E = e^{ - \mathbf{k} \circ \mathbf {r} }$

Mi lector de ingeniería escribe las mismas ecuaciones que:

F_{X X} / F = - k_{X}

$f_{xx}/f = -k_x$

{gramo}_{y y} / gramo = - k_{y}

$g_{yy}/g = -k_y$

h_{z z} / h = γ

$h_{zz}/h = \gamma$

donde gamma es la constante de propagación y da la siguiente ecuación

- k_{X} - k^{y} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$

Pregunta 1 : ¿Por qué la constante de propagación (un número complejo) puede tener un signo diferente? Porque pensé:

- k^{2} = - | | k | |^{2} = - (k_{X}^{2} + k_{y}^{2} + γ^{2})

$-k^2 = - || \mathbf{k} ||^2 = -(k_x^2 + k_y^2 + \gamma^2)$

¿Qué en las matemáticas está pasando?

Pregunta 2 : ¿Por qué la ecuación de onda no se escribe/resuelve usando la siguiente forma?

\nabla^{2} mi + k_{C}^{2} mi = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k_c^2 \mathbf{E} = 0$

si otro estado fuente

k_{C tu t}^{2} = γ^{2} + k^{2}

$k_{cut}^2 = \gamma^2 + k^2$ donde gamma es la constante de propagación, k es el número de onda y kc es el número de onda de corte?

Para que conste, lo simplificaron y luego saltaron al resultado final, dejándome fuera de la derivación.

\nabla^{2} mi + (γ^{2} + k^{2})^{2} mi = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + (\gamma^2 + k^2)^2 \mathbf{E} = 0$

No obtengo la respuesta 'correcta', que es:

H_{X} = \frac{- 1}{k_{C}^{2}} (γ \frac{d}{d X} H_{z} + j ω ϵ \frac{d}{d y} {mi}_{z})

$H_x = \frac{-1}{K_c^2}( \gamma \frac{d}{dx} H_z + j \omega \epsilon \frac{d}{dy} E_z)$

Pregunta 3 : ¿cuándo usamos:

\nabla^{2} mi + k^{2} mi = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$

versus

\nabla^{2} mi + γ^{2} mi = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + \gamma^2 \mathbf{E} = 0$

Notación :

γ = α + j β

$\gamma = \alpha + j \beta$

k = - j α + β

$k = - j \alpha + \beta$

alfa es la constante de atenuación
beta es la constante de fase / "número de onda de propagación"

Ediciones según lo solicitado. El libro es elementos del electromagnetismo.

Gert

Está seguro

- k_{x} - k^{y} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$ ¿es correcto?

Eduardo

¡Sí! revisa el lector que he publicado

Respuestas (2)

El papel de la constante de separación al resolver la ecuación de onda para ondas electromagnéticas y el número de onda de corte

Patricio · Answer 1

La separación de variables permite introducir tres constantes (que pueden ser imaginarias) que obedecen

α^{2} + β^{2} + γ^{2} = - k^{2} .

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -k^2.$ Por supuesto, uno podría definir estas tres constantes de manera diferente para que los signos cambien. Ellos eligen escribir

- k_{X}^{2} - k_{y}^{2} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x^2-k_y^2 + \gamma^2 = -k^2$ porque anticipan que las condiciones de contorno que impondrán más adelante serán tales que con esta elección de signo, las constantes

k_{x}, k_{y}

$k_x,k_y$ y

γ

$\gamma$ será real

Nicolás Soulis · Answer 2

Respuesta a la pregunta 1

Como dice su libro en la ecuación (12.7):

- k_{X}^{2} - k_{y}^{2} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_{x}^2-k_{y}^2+\gamma^2 = -k^2$ al multiplicar con

- 1

$-1$ y sacando la raiz cuadrada esto es equivalente a:

k = \sqrt{k_{X}^{2} + k_{y}^{2} - γ^{2}}

$k = \sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2-\gamma^2}$ observe que cometió un error de signo para

γ

$\gamma$ en tu ecuación. Ahora si:

k_{x}^{2} + k_{y}^{2} < γ^{2}

$k_{x}^2+k_{y}^2 < \gamma^2$ entonces

k

$k$ es imaginario de lo contrario es real. La existencia de

j

$j$ (raíz cuadrada de -1) o su ausencia afecta el signo de

k

$k$ . Ahora ten en cuenta

k

$k$ no es la constante de prórroga en sí misma,

γ

$\gamma$ es, como se menciona en su libro debajo de la ecuación (12.8c). La misma lógica se aplica por qué

γ

$\gamma$ puede tener su signo cambiado.

Respuesta a la pregunta 3

Siempre usamos la primera ecuación (ecuación de Helmholtz) que mencionaste, la que tiene $k$ observe la ecuación (12.4). Tenga en cuenta la ecuación (12.7) para saber cómo $k$ se relaciona con las otras constantes.

Respuesta a la pregunta 2

Aquí: $k_{cut}^2 = k_{x}^2+k_{y}^2$ la interpretación es el "número de onda de corte" para un determinado modo en una guía de ondas. Pero esto es específicamente cierto para las guías de ondas rectangulares. Esto resulta cuando $\gamma = 0$ para tales ondas se guía de la ecuación (12.7) y puede usarla para encontrar las frecuencias de corte para modos específicos. Ahora, si tiene en cuenta mi respuesta para su tercera pregunta, sabe que debe usar $k$ en la ecuación de Helmholtz NO $k_{cut}$ . Si asumes:

mi = \hat{mi} (X, y) {mi}^{- γ z}

$\textbf{E} = \hat{\textbf{E}}(x,y)e^{-\gamma z}$

que puede confirmar al observar las ecuaciones (12.9), pero aquí solo estoy considerando la propagación en la dirección +z. Resolvamos por el $E_{z}$ componente por ejemplo entonces:

\frac{\partial^{2} {mi}_{z}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} {mi}_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} {mi}_{z}}{\partial z^{2}} + k^{2} {mi}_{z} = 0

$\frac{\partial^2 E_{z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial z^2} + k^2E_{z} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{{mi}_{z}}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{{mi}_{z}}}{\partial y^{2}} + γ^{2} \hat{{mi}_{z}} + k^{2} \hat{{mi}_{z}} = 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} + \gamma^2 \hat{E_{z}} + k^2\hat{E_{z}} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{{mi}_{z}}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{{mi}_{z}}}{\partial y^{2}} + \hat{{mi}_{z}} * (k_{X}^{2} + k_{y}^{2}) = 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} +\hat{E_{z}} * (k_{x}^2+k_{y}^2) = 0$

entonces resuelves para $\hat{E_{z}}$ y luego puede encontrar todos los demás componentes usando las ecuaciones de desacoplamiento de las leyes de Maxwell.

El papel de la constante de separación al resolver la ecuación de onda para ondas electromagnéticas y el número de onda de corte

Eduardo

Gert

Eduardo

Respuestas (2)

Patricio

Nicolás Soulis

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