Calcule la absorción de luz utilizando el vector de Poynting promediado en el tiempo (de la simulación RCWA)

Su ecuación con$\nabla \mathbf{P}$tiene sentido si esta es la divergencia$\mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{P}$. Es decir, el vector de Poynting es el flujo de energía, es decir, las energías por unidad son por unidad de tiempo. Para calcular la absorción, desea que la energía electromagnética neta entre en el volumen. Esta es la integral de superficie del vector de Poynting, con un signo negativo ya que desea que entre la energía y el elemento del área apunte hacia afuera. Escribiendo la integral de superficie y usando el teorema de la divergencia:

$$\begin{equation} A = -\int_S \mathbf{P}\cdot d\mathbf{S} = -\int_V \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{P} dV \end{equation}$$ Llevar el volumen a cero le da a su$A/V$ecuación.

Para campos armónicos de una sola frecuencia, el promedio de tiempo de$\mathbf{P}$es$\mathbf{S}$, por lo que la absorción promediada en el tiempo por unidad de volumen es

$$\begin{equation} \langle A/V \rangle = \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{S} \,. \end{equation}$$

si solo tienes$\mathbf{S}(x,y,z,w)$, entonces puedes aproximar la divergencia como una diferencia central

$$\begin{eqnarray} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S}(x,y,z,w) \simeq \frac{\mathbf{S}(x+\Delta x,y,z,w) -\mathbf{S}(x-\Delta x,y,z,w)}{2\Delta x} \nonumber\\ +\frac{\mathbf{S}(x,y+\Delta y,z,w) -\mathbf{S}(x,y-\Delta y,z,w)}{2\Delta x} \nonumber\\ +\frac{\mathbf{S}(x,y,z+\Delta z,w) -\mathbf{S}(x,y,z-\Delta z,w)}{2\Delta x} \end{eqnarray}$$ con lo que sea convenientemente pequeño$\Delta x$su simulación le da.

Agregado:

El$\frac{1}{2}$y la parte real son la media temporal. eso es con$A(t) = {\rm Re} A e^{-i\omega t}$,$B(t)={\rm Re} B e^{-i\omega t}$donde la parte real de$A$es la mitad de la suma de$A$y su complejo conjugado$A^*$. el producto es

$$\begin{equation} A(t)B(t) = \frac{1}{4} \left [ AB^* +A^*B + ABe^{-i2\omega t}+A^*B^*e^{i2\omega t} \right ] \end{equation}$$ El promedio de tiempo da solo el primer término $$\begin{equation} \langle A(t)B(t)\rangle = \frac{1}{4} \left [ AB^* +A^*B \right ] = \frac{1}{2} {\rm Re} AB^* \end{equation}$$

Más adiciones:

La mayoría de las personas no escriben la dependencia temporal explícita cuando escriben resultados de frecuencia única. Aquí está el resultado promedio de tiempo anterior aplicado al vector de Poynting explícitamente. Es decir, sus campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo para una frecuencia angular$\omega$son

$$\begin{eqnarray} \mathbf{E}(x,y,z,t) &=& {\rm Re} \left [ \mathbf{E}(x,y,z,\omega) e^{-i\omega t} \right ] =\frac{1}{2}\left [\mathbf{E}(x,y,z,\omega)e^{-i\omega t} +\mathbf{E^*}(x,y,z,\omega)e^{i\omega t} \right] \nonumber\\ \mathbf{H}(x,y,z,t) &=& {\rm Re} \left[ \mathbf{H}(x,y,z,\omega) e^{-i\omega t} \right] =\frac{1}{2}\left [\mathbf{H}(x,y,z,\omega)e^{-i\omega t} +\mathbf{H^*}(x,y,z,\omega)e^{i\omega t} \right] \nonumber\\ \end{eqnarray}$$ Entonces, el vector de Poynting variable en el tiempo correcto es $$\begin{eqnarray} \mathbf{P}(x,y,z,t) &=& \mathbf{E}(x,y,z,t) \times \mathbf{H}(x,y,z,t) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4} \left [ \mathbf{E}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H^*}(x,y,z,\omega) +\mathbf{E^*}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H}(x,y,z,\omega) \right] \nonumber\\ && +\frac{1}{4} \left [ \mathbf{E}(x,y,z,\omega)\times\mathbf{H}(x,y,z,\omega) e^{-i2\omega t} +\mathbf{E^*}(x,y,z,\omega)\times\mathbf{H^*}(x,y,z,\omega) e^{i2\omega t}\right] \nonumber\\ \end{eqnarray}$$ El promedio de tiempo de$e^{\pm i 2\omega t}$es cero Si eso no es obvio, puede hacer el promedio de tiempo $$\begin{equation} \left \langle e^{\pm 2i\omega t}\right\rangle = \frac{\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} dt e^{\pm i2\omega t} = \int_0^{2\pi} \frac{du}{2\pi} e^{\pm i2u} = 0 \end{equation}$$ El primer término de$\mathbf{P}(x,y,z,t)$es independiente del tiempo por lo que es igual a su promedio temporal. El vector de Poynting promediado en el tiempo es $$\begin{eqnarray} \mathbf{S} &=&\frac{1}{4} \left [ \mathbf{E}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H^*}(x,y,z,\omega) +\mathbf{E^*}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H}(x,y,z,\omega) \right] \nonumber\\ &=& \frac{1}{2} {\rm Re} \left [ \mathbf{E}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H^*}(x,y,z,\omega)\right] \nonumber\\ &=& \frac{1}{2} {\rm Re} \left [\mathbf{E^*}(x,y,z,\omega)\times \mathbf{H}(x,y,z,\omega) \right ] \end{eqnarray}$$

La respuesta anterior es completa con respecto a la pregunta original, es decir, si desea utilizar explícitamente el vector de Poynting promediado en el tiempo. Sin embargo, la simulación RCWA le brinda el campo eléctrico y magnético (en el dominio de la frecuencia) y estos pueden usarse directamente para calcular la absorción (más conveniente y preciso). En otras palabras, existe una expresión analítica (para un medio sin cargas ni corrientes libres):

$$\nabla\cdot\textbf{S}(\textbf{r})=-\frac{\omega}{2}\left ( \operatorname{Im}\varepsilon(\textbf{r}) \left|\textbf{E}(\textbf{r})\right|^{2} + \operatorname{Im}\mu(\textbf{r}) \left|\textbf{H}(\textbf{r})\right|^{2} \right )$$