Derivación de la ecuación de onda para ondas electromagnéticas

me voy a poner$\epsilon_0=\mu_0=1$. Ahora las ecuaciones de Maxwell son:

$$\nabla . \textbf{E} = \rho$$ $$\nabla . \textbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \textbf{E} = -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \textbf{B} = \left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$ y tenemos la identidad $$\begin{equation} \nabla \times (\nabla \times\textbf{V}) = \nabla(\nabla.\textbf{V}) - \nabla^2\textbf{V} \end{equation}$$

Ahora procediendo de la misma manera que en el vacío

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{E}) = \nabla \times -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \textbf{B})=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$

mientras que el LHS se convierte en:

$$\nabla(\nabla.\textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E}=\nabla(\rho) - \nabla^2\textbf{E}$$

Reordenando RHS y LHS obtenemos

$$\nabla^2\textbf{E}-\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

En términos más simples

$$\Box\textbf{E}=\textbf{C}$$ dónde $$\textbf{C}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

Pasando ahora al caso de$\textbf{B}$

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{B})=\nabla \times\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)= \nabla \times\textbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\textbf{E})=\nabla \times\textbf{J} -\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}$$ en cuanto a LHS tenemos

$$\nabla(\nabla.\textbf{B}) - \nabla^2\textbf{B}=\nabla(0) - \nabla^2\textbf{B}$$

Reordenando RHS y LHS obtenemos

$$\nabla^2\textbf{B}-\frac{\partial^2\textbf{B}}{\partial t^2}=-\nabla \times\textbf{J}$$

en términos más simples

$$\Box \textbf{B}=\textbf{F}$$ dónde $$\textbf{F}=-\nabla \times\textbf{J}$$

Entonces, poner fuentes finalmente ha llevado a lo que llamamos ecuación de onda no homogénea que es simplemente

$$\Box f(t,\vec{x})=h(t,\vec{x})$$ lo mismo que en el caso de la ecuación de Laplacian y Poisson en el capítulo 3.

Material adicional (haré una suposición de tensores): las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones covariantes de Lorentz (así es como contribuyeron al triunfo de Einstein de la relatividad especial), incluso cuando se descubrieron en la era de la mecánica newtoniana. Covarianza de Lorentz Otro término para decir que una cantidad física dada obedece la ley de transformación de diferentes marcos de referencia inerciales en relatividad especial.

Es posible que también haya notado lo complicado que se vuelve tomar curl y div cada vez en el cálculo anterior y lo verá cuando compare la ecuación de los capítulos 10 y 12 del libro de Griffiths relacionados$\vec{J},\rho, A_\mu$. Proporcionaré un bosquejo aproximado del cálculo anterior a la luz de SR.

Definimos una cantidad llamada 4-vector una generalización de vectores en 4 dimensiones del espacio de Minkowski

$$A_{\mu}=(V, A_x, A_y, A_z)$$ $$J_{\mu}=(\rho, J_x, J_y, J_z)$$

Defina una cantidad llamada tensor de fuerza electromagnética

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$

La ecuación de Maxwell se puede reformular como

$$\partial^\nu F_{\mu\nu}=J_\mu$$ y $$\partial_{[\mu} F_{\nu\lambda]}=0$$

Dejemos la segunda ecuación a un lado (en realidad es una tautología) concentrémonos en la primera ecuación expandiéndola en términos de$A_\mu$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu)-\partial^\nu(\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$ reordenando los términos que tenemos $$\partial_\mu(\partial^\nu A_\nu)-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$

Ahora usamos el calibre Lorentz y establecemos$\partial^\nu A_\nu$así que finalmente nos quedamos con

$$-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$ que no es más que $$-\Box A_\mu = J_\mu$$

que es simplemente la ecuación de onda de diferentes potenciales bajo la presencia de diferentes fuentes que puede recuperar$\vec{E}$,$\vec{B}$de$A_\mu$. Es posible que no haya seguido nada de este material adicional si es su primer encuentro con 4-vectores, tensores, suma de Einstein, transformación de calibre/libertad. Lo que en realidad quería mostrarte era que, por el momento, te metieras en el complicado lío de los cálculos y, cuando hayas terminado con el capítulo 12 de Griffith, tendrás una perspectiva diferente de la electrodinámica en su conjunto.

El hecho de que los campos eléctrico y magnético obedezcan a ecuaciones de onda de esa forma es el resultado directo de suponer que no hay cargas ni corrientes. Si esas suposiciones se relajan*, entonces en el paso 11 el término que va a cero de hecho no será cero (tenga en cuenta que su identidad vectorial está escrita incorrectamente; debería ser$\nabla \times \nabla \times \textbf{E} = \nabla(\nabla . \textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E})$. Con lo que terminas es:

$$\frac{1}{\epsilon_0}\nabla \rho - \nabla^2\textbf{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}$$

La presencia de este término adicional significa que esto ya no es lo que consideramos una ecuación de onda; en general, no será lineal, y ciertamente no tendrá buenas soluciones sinusoidales.

También tenga en cuenta que si desea considerar estas ecuaciones no en el vacío, si la onda viaja en un material lineal y homogéneo **, simplemente puede reemplazar$\mu_0$y$\epsilon_0$con el$\mu$y$\epsilon$del medio

*Para simplificar, asumo una corriente invariable en el tiempo, de modo que desaparece en la derivada del tiempo en (8), pero podría relajar fácilmente esta suposición y llegar a una conclusión similar con una forma final diferente.

** Sin estas suposiciones,$\mu$y$\epsilon$dependerá del espacio y nuevamente sus ecuaciones tomarán una forma diferente con diferentes soluciones.

Es mucho más fácil derivar la ecuación de onda mediante las ecuaciones de Maxwell escritas en forma covariante . luego leen

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -j^\mu / \epsilon_0 ~~.$$ Como$F^{\mu\nu} = \partial^mu A^\nu - \partial^\mu A^\nu$, esto se convierte $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu = -j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ En el calibre Lorenz,$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu j^\mu = 0$, esto se convierte en la ecuación de onda para el potencial $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ Si quieres puedes encontrar$E$y$B$directamente desde$A^\mu$.