Comprender las ecuaciones de Maxwell en una caja

ecuaciones de Maxwell para$n$partículas cargadas cada una con carga$e_j$se sabe que son (en cgs)

$$\begin{align} \nabla\cdot\textbf{E}(t,x)&=4\pi\rho(t,x)\\ \nabla\cdot\textbf{B}(t,x)&=0\\ \nabla\times\textbf{E}(t,x)&=-\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{B}(t,x)}{\partial t}\\ \nabla\times\textbf{B}(t,x)&= \frac{1}{c}\left( 4 \pi\mathbf{J}(t,x)+\frac{\partial\mathbf{E}(t,x)}{\partial t}\right) \end{align}$$ Con $$\begin{align} \rho(t,x)&=\sum\limits_{j=1}^ne_j\delta(x-x^j(t))\\ \mathbf{J}(t,x)&=\sum\limits_{j=1}^ne_j\dot{x}^j(t)\delta(x-x^j(t)) \end{align}$$ donde cada uno$x^j$representa la posición de la j-ésima partícula. Ahora bien, si nos restringimos a una caja$V$e imponer condiciones de contorno periódicas, que en principio deberían permitirnos expandir todo usando series de Fourier $$\begin{align} \mathbf{E}(t,x)&=\frac{1}{|V|}\sum_{k}\vec{a}(t)_{k}e^{ik\cdot x}\\ \rho(t,x)&=\frac{1}{|V|}\sum_{j=1}^ne_j\sum_ke^{ik\cdot (x-x^j(t))}=\frac{1}{|V|}\sum_k\left(\sum_{j=1}^ne_je^{-ik\cdot x^j(t)}\right)e^{ik\cdot x} \end{align}$$ Luego, si aplica la ley de Gauss eléctrica, obtiene la siguiente ecuación para los coeficientes de Fourier $$ik\cdot\vec{a}(t)_k=4\pi\sum_{j=1}^ne_je^{-ik\cdot x^j(t)}$$ Esto es completamente análogo a la ecuación que encuentra al realizar la transformada de Fourier, pero con continua$k$. Sin embargo, en este caso si consideramos el coeficiente de Fourier para$k=\vec{0}$esto resulta en $$\sum_{j=1}^ne_j=0$$ Es decir, la carga neta debe ser 0. Claramente, no es físicamente razonable considerar solo sistemas con carga neta 0, por lo que mi pregunta es si hay algún problema con mi procedimiento. Si no, si el problema tiene que ver con cómo asumí ingenuamente que las ecuaciones de Maxwell funcionan en este tipo de sistemas.