¿Normas negativas de cuerdas abiertas después de la cohomología BRST?

La pregunta Desaparición de módulos para condensado de cuerdas abiertas me hizo pensar.

Supongamos que tenemos una Dp-brana completamente envuelta sobre una$T^d$compactación con$p\leqslant d$. Mire una hoja del mundo de cuerda abierta con ambos extremos en esta brana envuelta. Se puede hacer una descomposición de Fourier para el$X$campos sobre esta hoja de mundo. Mire el modo sin excitaciones de Fock de hoja mundial para momentos de hoja mundial 2 o más, una sola excitación para n = 1, y considere los valores para$P_\mu$para el modo worldsheet n=0. Suponga además que los números de devanado para las dimensiones compactadas dp normales a la brana envuelta son cero. Para esos$9-p$dimensiones normales a la brana Dp,$P_\mu=0$. Eso nos deja con p dimensiones espaciales (démosles los índices i,j,k,...) y 1 dimensión temporal, índice 0. Los modos de cuerda que nos interesan no tienen masa. Esto significa$P_0^2=P_i P_i$. Dejar$\epsilon^\mu$sea ​​la orientación para el modo excitado n=1. La norma invariante de Lorentz está dada por$\langle \epsilon^\mu | \epsilon^\nu \rangle = \eta^{\mu\nu}$($-+...+$firma). La condición para el cierre de BRST es$\epsilon^0 P_0 + \epsilon^i P_i =0$. El estado nulo BRST-exacto tiene$\epsilon^\mu$Paralelo a$P^\mu$. Debido a la compactación,$P_i = n_i/R_i$dónde$R_i$es el radio a lo largo de la i-ésima dimensión y el$n_i$son números enteros. En otras palabras, el espectro de la$P_\mu$'s es discreto en todas las direcciones. Si hay al menos uno distinto de cero$n_i$, el subespacio cerrado de BRST tiene una norma semidefinida positiva, y después de cociente sobre el estado nulo exacto de BRST, nos queda un espacio definido positivo.

¿Qué pasa si todos los$n_i$son cero? Entonces,$P_0=0, P_i=0$, todas las polarizaciones son BRST cerradas y no existe un subespacio BRST exacto no trivial. Entonces, ¡el espacio cohomológico BRST tiene una norma indefinida! ¿Alguien puede ayudarme aquí?

Supongamos que tenemos dos D0-branas. Están separados por una distancia.$L$. Considere una cuerda abierta que conecta ambas branas. Suponga que tiene las mismas propiedades que las dadas en la sección anterior. Mientras$L$es distinto de cero, la cohomología BRST tiene una norma definida positiva. Que pasa cuando$L=0$? ¡Una norma indefinida otra vez!