Teorema de Bohr-van Leeuwen y mecánica cuántica

Preámbulo :

Si se considera un gas ideal de partículas de carga cargadas que no interactúan q en un campo magnético uniforme B = ∇ ∧ A , entonces la función de partición clásica en el conjunto canónico dice (en unidades SI):

q ( β , V , norte , B ) = 1 norte ! q ( β , V , B ) norte

dónde q ( β , V , B ) = ∫ d pag d r h 3 mi − β 2 metro ( pag − q A ( r ) ) 2

Si integramos primero con respecto a los momentos sobre todos los valores posibles de − ∞ a + ∞ para cada componente, un simple cambio de variable conduce a

q ( β , V , B ) = V Λ 3 cual es el resultado del gas ideal y donde Λ es la longitud de onda térmica de Brooglie.

Si uno quiere obtener la magnetización por partícula m inducida por el campo B Es sencillo:

m = − ∂ ⟨ ϵ ⟩ ∂ B = ∂ ∂ B ( ∂ en ⁡ ( q ( β , V , B ) ) ∂ β ) = ∂ ∂ β ( ∂ en ⁡ ( q ( β , V , B ) ) ∂ B ) = 0

Esta es una forma de enunciar el teorema de Bohr-van Leeuwen .

Ahora, físicamente entiendo que este resultado proviene de alguna simetría asociada con los momentos (es tan probable que vaya a la derecha como a la izquierda) y el hecho de que los límites de la integral sobre los momentos son infinitos.

Si el problema se trata mecánicamente cuánticamente, los estados propios de una partícula de carga son niveles de Landau discretizados con un espacio típico entre dos niveles vecinos que es ℏ ω C dónde ω C = q B / metro es la frecuencia del ciclotrón y se encuentra que la suma de estos estados depende del campo magnético B .

Preguntas):

Estoy perdido en mi interpretación del límite cuántico a clásico para este sistema... hasta ahora pensé que el límite cuántico -> clásico para las propiedades estadísticas de una partícula individual estaba relacionado con la forma de contar el número de estados para este partícula, es decir, si consideramos el conjunto de estados como un continuo o como un conjunto discreto. Esta analogía parece funcionar también en este caso, ya que surge el límite clásico si k B T ≫ ℏ ω C . Sin embargo, dos puntos principales difieren de lo que estoy acostumbrado:

  • El tratamiento cuántico de este sistema produce un momento magnético distinto de cero (aunque se desvanece a temperaturas infinitas) en el límite donde k B T ≫ ℏ ω C mientras que el tratamiento clásico da estrictamente cero.
  • No entiendo cómo desaparece el argumento de simetría izquierda-derecha utilizado en la función de partición clásica en el tratamiento cuántico para producir una función de partición que depende de B .
  • ¿Hay alguna forma clásica de evaluar que las correcciones cuánticas serán de orden? O ( Λ / R C ) dónde R C ∼ metro k B T / ( q B ) Cuál es el tamaño típico del radio de las trayectorias helicoidales tomadas por una partícula cargada?

Lo siento si mis preguntas parecen confusas, intentaré mejorarlas si no son lo suficientemente claras.

EDITAR : me doy cuenta de que uno de mis puntos no está muy claro y lo explicaré con el ejemplo de un verdadero oscilador armónico. Si considero la mecánica estadística clásica, sé que ⟨ 1 2 metro ω 2 X 2 ⟩ = 1 2 k B T . Esto me dice que la incertidumbre típica sobre la posición de mi partícula es σ X = k B T / ( metro ω 2 ) . Por cierto, esta longitud es también la típica escala de longitud de confinamiento debido al potencial armónico. Una forma de sondear semiclásicamente la validez del límite clásico es imaginar la partícula como un paquete de ondas no dispersivo de ancho Λ = h / 2 π metro k B T y darse cuenta de que las interferencias (que en última instancia conducen a la cuantificación) no son importantes si Λ ≪ σ X . Esto es muy atractivo porque uno puede probar la validez de una aproximación clásica usando un σ X que proviene de un tratamiento clásico.

Mi mayor problema con una partícula cargada en un campo magnético es que el teorema de Bohr-van Leewen aparentemente evita esta escala de longitud típica (que estoy seguro es R C ) que se encuentra con un tratamiento estadístico clásico.

Creo que la razón del momento magnético distinto de cero es la no conmutatividad del impulso y el vector potencial.

Respuestas (2)

El diamagnetismo de Landau tiene lugar debido a la no conmutatividad de pag y A ( r ) . En el tratamiento clásico no existe tal no conmutatividad, por lo que la susceptibilidad magnética es idénticamente cero.

Una forma de apreciar la dependencia del resultado de ℏ y al mismo tiempo realizar el tratamiento cuántico completo es realizar el cálculo en la base del estado coherente. Sobre esta base, el hamiltoniano de Landau tiene la forma de un oscilador armónico bidimensional isotrópico con la frecuencia de Larmor como frecuencia natural (para obtener algunos detalles, consulte la siguiente pregunta ) .

H = ℏ ω C ( a † a + 1 2 )

Debido a la relación de conmutación no nula entre los operadores de creación y aniquilación, la exponencial del operador hamiltoniano viene dada por:

Exp ⁡ ( − β H ) = Exp ⁡ ( − 1 2 β ℏ ω C ) Exp ⁡ ( − β ℏ ω C a † a ( 1 − mi − β ℏ ω C ) )

En la base de espacio coherente, la función de partición viene dada por:

Z = ω C ∫ d 2 α Exp ⁡ ( − 1 2 β ℏ ω C ) Exp ⁡ ( − β ℏ ω C α ¯ α ( 1 − mi − β ℏ ω C ) ) = ω C ( 1 − mi − β ℏ ω C ) − 1

(El factor multiplicativo proporcional a ω C es el jacobiano de la transformación del volumen del espacio de fase). (Estoy siendo descuidado en los términos constantes inmateriales).

Esta función de partición da la susceptibilidad magnética correcta. Además, en el límite \hbar pequeño, la función de partición se convierte en una constante, dando así el teorema de Bohr-van Leewen.

Gracias por la respuesta. No conocía este cálculo con estados coherentes. Sin embargo, me temo que esto no responde completamente a mis preocupaciones. Un problema que tengo es que, como se explica en la wiki , el teorema de Bohr-van Leewen surge del hecho de que el momento angular medio es la integral de una función impar y, por lo tanto, es cero. Técnicamente parece muy similar a calcular el momento medio de una partícula en una caja de un oscilador, encontramos cero por simetría [continuará]
Este valor cero es cierto ya sea que tratemos con la versión clásica o cuántica del problema para una partícula libre en una caja de un oscilador armónico "verdadero". Por eso no entiendo cuál es la diferencia física en este caso de un campo magnético.
También es extraño que una partícula cargada en un campo magnético sea el único caso que conozco en el que no se puede señalar "rigurosamente" una longitud característica clásica para compararla con la longitud de onda térmica. Parece obvio que esta longitud característica es el radio típico R C di arriba y si Λ > R C entonces la función de onda será tan grande como las trayectorias "cerradas" en el plano xy y este confinamiento efectivo conducirá a la cuantificación de los niveles de energía que son los niveles de Landau
Lo sentimos, pero ¿cuál es el factor dimensional de proporcionalidad en el frente de su expresión para la función de partición (tiene que ser adimensional)?
@ YYY Gracias por su comentario, generalmente me gusta mantener todas las unidades y constantes y creo que mejoran la comprensión de la física. Es por eso que actualizaré esta respuesta y escribiré los prefactores completos. La explicación de por qué un factor proporcional a ω C está presente es porque la transformación jacobiana entre las coordenadas coherentes y los momentos incluye un factor 2 mi B ℏ que es inversamente proporcional a la frecuencia del ciclotrón. (La integración en la función de partición es sobre todo el espacio de fase).
  • El tratamiento cuántico de este sistema produce un momento magnético distinto de cero (aunque se desvanece a temperaturas infinitas) en el límite donde k B T ≫ ℏ ω C mientras que el tratamiento clásico da estrictamente cero.
  • No entiendo cómo desaparece el argumento de simetría izquierda-derecha utilizado en la función de partición clásica en el tratamiento cuántico para producir una función de partición que depende de B .

La derivación del momento magnético cero (el llamado teorema de Bohr-van Leeuwen) a partir de la distribución de probabilidad canónica es matemáticamente correcta. La razón por la que el momento magnético obtenido es cero es el uso de la distribución de probabilidad canónica, que dice que la partícula tiene una distribución de probabilidad de posición constante dentro de la caja y todas las direcciones de velocidad son igualmente probables en todas partes.

La igualdad de todas las direcciones de movimiento es razonable para un sistema en una caja, porque la partícula no puede atravesar las paredes y, como resultado, la partícula no puede ejercer su movimiento circular natural si está lo suficientemente cerca de la pared. Si la partícula golpea la pared, se refleja y esto hace que sea razonable suponer que todas las direcciones son igualmente probables, incluso si la partícula está cerca de la pared.

Si se quitan las paredes, la partícula cargada ejerce un movimiento circular sin encontrar obstáculos y esto da como resultado un momento magnético que apunta en la dirección determinada por el campo magnético (el momento magnético se opondrá al campo magnético; esto se llama diamagnetismo). Es bastante fácil calcular este momento magnético en función de la energía de la partícula. Cuando se permite que muchas de estas partículas se muevan sin esta restricción, se puede obtener un gran momento magnético neto. Esto es posible porque la distribución de probabilidad de velocidad en los bordes del sistema ya no es isotrópica.

Por lo tanto, la distribución canónica es inapropiada para calcular los efectos magnéticos: al ser una función de la energía solamente, no puede captar el hecho de que la distribución de velocidades en los bordes del sistema no es isotrópica, sino que prefiere la dirección de circulación de la corriente determinada por el campo magnético externo. . Asume que el estado magnetizado de la materia es lo que debería suceder cuando una sola partícula cargada que no interactúa se coloca en una caja, pero eso es físicamente incorrecto.

El uso frecuente de este cálculo como ejemplo de la inadecuación de la física no cuántica para el magnetismo es, por lo tanto, erróneo desde el principio. A diferencia de otros usos de una caja imaginaria en los cálculos de la física estadística, para los efectos magnéticos del campo externo no se puede ignorar el efecto de la caja en el sistema. El momento magnético de un cuerpo magnetizado uniformemente puede cancelarse por completo con la corriente superficial adecuada. En este caso, los reflejos de las paredes de la caja proporcionan tal corriente de cancelación.

El cálculo cuántico es muy diferente. Primero, se encuentran los valores propios del hamiltoniano y luego también se introduce la caja. Esta vez, sin embargo, se utiliza sólo para limitar mentalmente la posición del centro de la función de onda, no todo su apoyo en todo el espacio. No hay interacción física de las paredes con el sistema involucrado que haría posible que la distribución de probabilidad de velocidad sea isotrópica en todas partes. Además, la función de partición se calcula de manera muy diferente: como una suma sobre números cuánticos, en lugar de una integral sobre el espacio de fase. Por lo tanto, no es tan sorprendente que el cálculo conduzca a propiedades magnéticas no triviales: en el cálculo cuántico, la caja "no está realmente allí".

Gracias por la respuesta. El punto sobre las paredes es interesante y lo he encontrado a veces (la primera vez en el libro de Peierls sobre "Sorpresas en física teórica"). La cuestión es que este argumento heurístico es suficiente pero no necesario para obtener el resultado de Bohr-von Leeuwen. De hecho, como expliqué en mi publicación, incluso antes de integrar sobre las posiciones, se puede integrar sobre los momentos haciendo un cambio de variable pag → v = pag − q A sin afectar los límites de integración. Esto es suficiente para producir el teorema.
Además, como también señalé, las correcciones al resultado clásico cero son del orden Λ / R C ∼ ℏ ω C / k B T y no implican en absoluto el volumen de la caja. Por lo tanto, sospecharía que los límites juegan, de hecho, un papel de segundo orden en la aparición del diamagnetismo en la mecánica cuántica (estadística) (y su desaparición en la mecánica clásica).
@gatsu, he modificado mi respuesta. De hecho, la distribución canónica ya conduce a cero magnetismo. La distribución canónica es una herramienta razonable cuando el sistema está en una caja. Aquí, sin embargo, la distribución canónica falla y es natural ver una razón de esto en el hecho de que el diamagnetismo no le sucede a las partículas en una caja, sino a las partículas que se mueven libremente en el campo magnético. La caja y la distribución canónica, por lo tanto, deben evitarse. El cálculo cuántico hace esto: los valores propios generalmente se encuentran para partículas en el espacio infinito, no para partículas en una caja.
@gatsu, no le importa el cálculo de los valores propios, pero este cálculo es correcto solo si no hay un cuadro (el sistema es infinito). Para calcular la degeneración, la caja es fundamental, pero se usa solo para contar, no se tiene en cuenta la interacción física del sistema con la caja.
Este hilo de comentarios ya es bastante largo. Creo que no me entiende, pero está bien, si desea plantear otras preguntas, publíquelas en un nuevo hilo y puedo intentar responder.
escriba las ecuaciones donde el papel del cuadro de confinamiento aparece explícitamente en stat.mech. tratamiento del problema. Tal vez así lo entendería. Gracias.
La caja está implícita en el cálculo clásico; sin ella, la distribución canónica no tendría justificación. Su ejemplo de la primera publicación lo usa explícitamente.
¿Está insinuando que si hago el cálculo en masa real con el gran conjunto canónico clásico (sin cuadro delimitador sino simplemente una densidad aparente impuesta), no recuperaré el teorema BvL? Nuevamente, la 'razón' por la que se cumple el BvL es porque podemos mapear la termodinámica del problema clásico con cualquier campo magnético. B sobre la termodinámica del problema clásico con un campo magnético idénticamente cero. Esa es la causa que puede ser, según algunos, debida a los muros pero a priori no los necesita; este es un resultado a granel. De todos modos, gracias por intentarlo.
No, no estoy insinuando eso. La distribución de probabilidad de Boltzmann depende solo de la energía y, por lo tanto, por sí sola no puede dar ningún resultado en función del campo magnético. Lo que estoy diciendo es que la distribución de probabilidad de Boltzmann es inaplicable.
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