Espacio de Hilbert, ¿|r⟩|r⟩|r\rangle satisface ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Question

Espacio de Hilbert, ¿|r⟩|r⟩|r\rangle satisface ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Alex

Digamos que empezamos sin partículas: $\mid0\rangle$ . Tenemos $\vec{p}\vert0\rangle = 0$ , $H\vert0\rangle = 0$ , donde estamos ignorando $\infty$ energía del vacío. También, $a(\vec{k})\vert0\rangle = 0$ para todos $\vec{k}$ . El espacio de Hilbert ahora se divide en sectores de $r$ estados de partículas, $r = 0$ , $1$ , $2, \dots$ . Un general $r$ estado de partícula tiene la forma

| r ⟩ = \frac{1}{\sqrt{r! \int \frac{d^{3} {\vec{k}}_{1}}{(2 π)^{3}} \dots \int \frac{d^{3} {\vec{k}}_{r}}{(2 π)^{3}} {| F ({\vec{k}}_{1}, \dots, {\vec{k}}_{r}) |}^{2}}}

$\vert r\rangle = {1\over{\sqrt{r! \int {{d^3 \vec{k}_1}\over{(2\pi)^3}} \dots \int {{d^3 \vec{k}_r}\over{(2\pi)^3}} \left| F(\vec{k}_1, \dots, \vec{k}_r)\right|^2}}}$

\cdot \int \frac{d^{3} {\vec{k}}_{1}}{(2 π)^{3}} \dots \int \frac{d^{3} {\vec{k}}_{r}}{(2 π)^{3}} F ({\vec{k}}_{1}, \dots, {\vec{k}}_{r}) a^{†} ({\vec{k}}_{1}) \dots a^{†} ({\vec{k}}_{r}) | 0 ⟩ .

$\cdot \int {{d^3 \vec{k}_1}\over{(2\pi)^3}} \dots \int {{d^3 \vec{k}_r}\over{(2\pi)^3}} F(\vec{k}_1, \dots, \vec{k}_r)\, a^\dagger (\vec{k}_1) \dots a^\dagger(\vec{k}_r) \,\vert0\rangle.$ Mi pregunta es, debe

| r ⟩

$\vert r\rangle$ necesariamente satisfacer

⟨ r | r ⟩ = 1

$\langle r\, \vert \,r \rangle = 1$ ?

gentil

Si la pregunta es: "¿debe uno incluir el factor de normalización?" la respuesta es no, uno no necesariamente tiene que hacerlo.

fénix87

No, si define los valores esperados en un vector

| r ⟩

$|r\rangle$ como

EXP [O] := \frac{⟨ r | O | r ⟩}{⟨ r | r ⟩}

$\operatorname{EXP}[O] := \frac{\langle r|O|r\rangle}{\langle r|r\rangle}$ .

Respuestas (1)

Espacio de Hilbert, ¿|r⟩|r⟩|r\rangle satisface ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Si la pregunta es: "¿debe uno incluir el factor de normalización?" la respuesta es no, uno no necesariamente tiene que hacerlo.
No, si define los valores esperados en un vector $|r\rangle$ como $\operatorname{EXP}[O] := \frac{\langle r|O|r\rangle}{\langle r|r\rangle}$ .

Qi Xiaodong · Answer 1

La respuesta corta es "no, la condición de normalización no siempre es necesaria". Creo que esto realmente depende de cómo uses esa condición de normalización. Siempre puede hacer un estado normalizado a 1 como lo ha indicado correctamente. Pero esa condición puede elegirse arbitrariamente para diferentes propósitos. Por ejemplo, un estado coherente , $|\alpha\rangle$ , satisface $\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ y $⟨\alpha|\alpha⟩=e^{|\alpha|^2-\alpha^2}$ , que se refiere al estado base sobrecompleto . Esta definición es útil cuando se considera un campo láser con números de fotones inciertos, y $\alpha$ es una medida de las propiedades estadísticas de los fotones.

¿Responde esto a tu pregunta?

Espacio de Hilbert, ¿|r⟩|r⟩|r\rangle satisface ⟨r|r⟩=1⟨r|r⟩=1\langle r |r\rangle = 1?

Alex

gentil

fénix87

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Qi Xiaodong

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