¿Derivación de la conservación del número bariónico?

"Derivación" de la Conservación del Número Bariónico -

Considere el QCD Lagrangiano (densidad)

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G_a^{\mu\nu}$$

donde los símbolos tienen su significado habitual.

Esto es invariante bajo$U(1)$, que no es más que una multiplicación de$\psi$por un factor de fase global$e^{i \theta}$. Esto es porque$\bar \psi$toma un factor correspondiente con una fase opuesta, y los dos se cancelan entre sí, en el primer término.

Para hacer uso del teorema de Noether, reescribiendo esto como

$$\psi'(x) = e^{i \theta} \ \psi(x) \approx \psi(x) + i\theta \psi(x)$$ a primer orden (pequeño $\theta$, como en transformaciones infinitesimales). Este $U(1)$forma de invariancia es un caso muy especial de invariancia bajo transformaciones globales del tipo $$\psi'(x) = e^{i \theta^a \Gamma_a} \psi(x) \approx \psi(x) + i\theta^a \Gamma_a \psi(x)$$ dónde $\Gamma_a$se refiere a los generadores del grupo unitario que actúan sobre el campo de quarks $\psi$.

Usando el teorema de Noether para el caso general, uno tiene que seguir los pasos usuales: escribir el cambio en la acción,

$$\delta S \equiv \int d^4 x \delta \mathcal{L} = 0$$ luego expandiendo esto $\delta \mathcal{L}$en términos de cambios en $\psi$y los que están en $\partial_{\mu} \psi$, luego integrando por partes para llegar a la corriente de Noether conservada $$J_a^{\mu}(x) = \bar \psi (x) \gamma^{\mu} \Gamma_a \psi (x)$$ que satisface $$\partial_{\mu} J_a^{\mu}(x) = 0$$ El mismo puede ser emitido en forma de carga. $$Q_a = \int d^3 x J_a^0 (x)$$ con $$\frac{dQ_a}{dt} = \int d^3 x \frac{\partial J_a^0 (x)}{\partial t} = - \int d^3 x \nabla \cdot J_a = 0$$ siempre que las corrientes decaigan lo suficientemente rápido en el infinito espacial. De todos modos, esa condición se emplea incluso en electrodinámica en la derivación de la conservación de la carga total, utilizando un argumento idéntico.

Por lo tanto, el componente cero de esta corriente de Noether, integrado en el espacio tridimensional (por lo tanto, dando una carga), se conserva globalmente . Ese es un resultado poderoso, para el caso general.

Volviendo al tema de interés -$U(1)$invariancia Haciendo uso del resultado general, puede notar que en este caso, no hay índice$a$y la única gamma es identidad (correlacionando las dos ecuaciones). Así, sustituyendo en el caso general, nuestra corriente conservada lee

$$J_{\mu} = \bar \psi \gamma_{\mu} \psi$$ y la carga conservada dice $$Q = \int d^3 x \bar \psi \gamma_0 \psi$$ que se puede reescribir como $$Q = \int d^3 x \psi^{\dagger} \psi$$ utilizando las conocidas propiedades de las matrices gamma.

Observe en este punto dos cosas:

1) Hemos usado argumentos de invariancia, que siempre pueden acomodar un factor multiplicativo, ya que eso no cambiará la invariancia.

2)$\psi^{\dagger} \psi$es una densidad numérica . (Es posible que desee recordar la definición de operador numérico en, por ejemplo, oscilador armónico en QM básico, y extrapolar).

Por lo tanto, tomando QCD Lite por ejemplo, donde los quarks de interés son$u$,$d$y$s$, cualquier barión estaría compuesto por estos, y siempre podemos normalizar la carga conservada por un factor de$1/3$, uno para cada sabor de quark. Además, la densidad numérica integrada en 3 espacios daría un número . Por lo tanto, juntando estos dos, podemos escribir como la carga conservada

$$B = \frac{1}{3} \int d^3 x \ \psi^{\dagger} \psi$$ (dónde $\psi$cubre los tres sabores), que se puede interpretar como, (trago) Número de bariones.

Por lo tanto, el número bariónico se puede interpretar como la carga conservada correspondiente a$U(1)$invariancia del QCD Lagrangiano.