Redefinición de las coordenadas del espacio-tiempo para el Teorema de Noether

Question

Redefinición de las coordenadas del espacio-tiempo para el Teorema de Noether

Física
simetría
tiempo espacial
teoría de campo
teorema de noethers
sistemas coordinados

Zaratustra

En la derivación del teorema de Noether algunos autores consideran no solo redefiniciones de los campos

ϕ (X) \to ϕ^{'} (X) = ϕ (X) + d ϕ (X)

$\begin{equation} \phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) +\delta\phi(x) \end{equation}$ pero también redefiniciones de las coordenadas del espacio-tiempo

X^{m} \to X^{' m} = X^{m} + d X^{m} . (*)

$\begin{equation} x^{\mu} \rightarrow x'^{\mu} = x^{\mu} +\delta x^{\mu} \ . \qquad(*) \end{equation}$ No me queda muy claro qué significa esta redefinición de las coordenadas del espacio-tiempo.

Hasta ahora he pensado que es solo un cambio en el sistema de coordenadas. es decir, si $P$ es un punto en el espacio-tiempo y le asignamos la coordenada $x(P)$ , generalmente un vector de 4, entonces también podríamos etiquetarlo con la coordenada diferente $x'(P)$ . Por lo tanto $x$ y $x'$ describir el mismo punto en el espacio-tiempo.

Sin embargo, al tomar este punto de vista, me he encontrado con algunos problemas en la derivación del teorema de Noether. Quisiera saber si mi concepción del significado de $(*)$ es correcta o si no cuál es la interpretación correcta.

Mi pregunta es $\textbf{not a duplicate}$ del teorema de Noether en la teoría clásica de campos, ya que esa pregunta no aborda si $x$ y $x'$ se refieren al mismo punto en el espacio-tiempo.

Ozz

Posible duplicado del teorema de Noether en la teoría de campos clásica

AccidentalFourierTransformar

relacionados: Representaciones grupales y transformaciones activas/pasivas y vínculos en las mismas.

Vanguardia

Siempre que hablamos de simetrías en QFT, las transformaciones asociadas actúan sobre campos, no sobre coordenadas. A veces, por ejemplo, cuando se trata de transformaciones de espacio-tiempo al derivar el tensor de energía-momento, se encontrará con transformaciones que actúan sobre coordenadas. Pero eso se hace para usarlos como muleta para, finalmente , poder expresar transformaciones solo en campos . Vea esta respuesta, por ejemplo: physics.stackexchange.com/a/359199/133418

Vanguardia

@Zaratustra De nada.

Respuestas (1)

Redefinición de las coordenadas del espacio-tiempo para el Teorema de Noether

Posible duplicado del teorema de Noether en la teoría de campos clásica
relacionados: Representaciones grupales y transformaciones activas/pasivas y vínculos en las mismas.
Siempre que hablamos de simetrías en QFT, las transformaciones asociadas actúan sobre campos, no sobre coordenadas. A veces, por ejemplo, cuando se trata de transformaciones de espacio-tiempo al derivar el tensor de energía-momento, se encontrará con transformaciones que actúan sobre coordenadas. Pero eso se hace para usarlos como muleta para, finalmente , poder expresar transformaciones solo en campos . Vea esta respuesta, por ejemplo: physics.stackexchange.com/a/359199/133418

mike piedra · Answer 1

El cambio $\delta x^\mu=\epsilon^\mu$ es solo un reetiquetado de los puntos del espacio-tiempo. Después de volver a etiquetar el punto $P$ que tenia coordenadas $x^\mu$ ahora tiene coordenadas $x^\mu- \epsilon^\mu$ y el punto $P'$ que ahora tiene coordenadas $x^\mu$ es el punto $P+ \epsilon$ . El campo en el punto $P$ no cambia, pero $\varphi(x^\mu)$ ahora se refiere al campo en $P+\epsilon$ y entonces

φ (X^{m}) \mapsto φ (X^{m} + ϵ^{m}) = φ (X) + ϵ^{m} \frac{\partial φ}{\partial X^{m}} + O (ϵ^{2})

$\varphi(x^\mu)\mapsto \varphi(x^\mu +\epsilon^\mu) =\varphi(x) + \epsilon^\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}+ O(\epsilon^2)$ Similarmente

{gramo}_{m v} (X) d X^{m} d X^{v} \mapsto {gramo}_{m v} (X + ϵ) d (X^{m} + ϵ^{m}) d (X^{v} + ϵ^{v}) = ({gramo}_{m v} (X) + \nabla_{m} ϵ_{v} + \nabla_{v} ϵ_{m}) d X^{m} d X^{v}

$g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu \mapsto g_{\mu\nu}(x+\epsilon)d(x^\mu+\epsilon^\mu)d(x^\nu+ \epsilon^\nu)\\ = (g_{\mu\nu}(x) +\nabla_\mu \epsilon_\nu+\nabla_\nu\epsilon_\mu)dx^\mu dx^\nu$ donde se utilizan algunas identidades derivadas covariantes en el último paso.

Este reetiquetado no puede cambiar nada físico, por lo que, en particular, el funcional de acción no puede ser cambiado por él.

Ahora bien, si se obedecen las ecuaciones de movimiento, la acción no cambia ante ningún cambio en los campos. Combinando estos dos hechos, y una integración por partes conduce a

0 = \nabla_{m} T^{m v},

$0=\nabla_\mu T^{\mu\nu},$
dónde

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ es el tensor de energía-momento de Hilbert definido por

d S = \frac{1}{2} \int d^{d} X \sqrt{gramo} T^{m v} d {gramo}_{m v} .

$\delta S = \frac 12 \int d^dx \sqrt{g} T^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}.$

esto no responde a mi pregunta. ¿X y x' se refieren al mismo punto del espacio-tiempo? si dos observadores A y A' describen el mundo usando $x, \phi$ y $x', \phi'$ respectivamente medirían los valores de campo durante algún evento P para ser $\phi(x(P))$ y $\phi`(x(P) + \epsilon)$ ¿O no?

Redefinición de las coordenadas del espacio-tiempo para el Teorema de Noether

Zaratustra

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mike piedra

Zaratustra

mike piedra

¿Cómo encontrar las transformaciones continuas que dejan invariante la acción?

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