Ecuación de energía de Navier-Stokes

Me han asignado (como tarea en un curso de modelado matemático) la tarea de derivar la ecuación de energía de Navier-Stokes en una dimensión espacial:

Considere un fluido que fluye a través de una tubería cilíndrica (de izquierda a derecha; también suponga que la tubería es horizontal) con sección transversal constante$A$, velocidad$v(x,t)$, densidad$\rho(x,t)$, energía interna específica$e(x,t)$, temperatura$T(x,t)$, bajo presión$p(x,t)$, y sujeto a estrés viscoso. (Por energía interna específica , nos referimos a energía interna por unidad de masa. La energía interna surge de colisiones intermoleculares en el fluido, y debe distinguirse de la energía cinética asociada con el movimiento macroscópico del fluido (es decir,$\tfrac{1}{2}mv^2$). Conservando la energía, demuestre que

$$\begin{equation} \left[\rho\left(\frac{v^2}{2}+e\right)\right]_{t}+\left[\rho ve+\frac{1}{2}\rho v^3-\kappa(x)T_x+pv-\mu vv_x\right]_x=0, \end{equation}$$ dónde $\kappa$es la difusividad térmica y $\mu$es el coeficiente de viscosidad.

Adjunto con el problema está esta "pista":

Nota. La densidad de energía debe ser fácil de identificar. Para el flujo, considere cada uno de los siguientes, que corresponden respectivamente con los términos de la ecuación anterior: energía interna, energía cinética, energía perdida por calor, energía perdida por trabajo contra la presión, energía perdida por trabajo contra la tensión viscosa.

Supongo que está destinado a que usemos la ecuación de conservación.$u_t+f_x=0$(dónde$u(x,t)$es una cantidad conservada y$f$es el flujo), pero tengo muchos problemas para interpretar los fenómenos físicos como ecuaciones (soy un estudiante graduado de matemáticas que sabe vergonzosamente poco de física).

Mirando la ecuación anterior, asumo que la densidad de energía en un punto es simplemente la energía interna más la energía cinética, o$mv^2/2+me$, (dado que la energía interna específica es energía interna es energía interna por unidad de masa), y entonces de alguna manera deberíamos poder argumentar que$m=\rho A$, y eventualmente el$A$se dividirá. Sin embargo, el problema que tengo con esto es que creo que la ecuación es masa$=$volumen$\times$densidad, no área, y estoy teniendo un pequeño problema conceptualmente permitiéndome el estado$m=A\rho$con confianza (ya que cualquier objeto sin tres dimensiones espaciales debería tener un volumen cero, ¿no?).

Para el flujo, tengo verdaderos problemas para interpretar cuál sería el "flujo de energía", incluso con su sugerencia.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Esperemos que esta pregunta no se haya hecho ya (hice una buena búsqueda) y que se haya etiquetado correctamente. Gracias de antemano.

Además, cualquier recomendación para un libro de física dirigido a personas con experiencia en matemáticas también sería muy apreciada.

Por favor, hágamelo saber si algo no está claro en la declaración de la pregunta y haré todo lo posible para aclarar las cosas.