Nivel de Landau para tocar banda cuadrática en Dirac Hamiltonian

Question

Nivel de Landau para tocar banda cuadrática en Dirac Hamiltonian

qc2014

Me pregunto si hay alguien o alguna referencia que haya resuelto el espectro de niveles de Landau y los estados propios con respecto al siguiente hamiltoniano:

H = \frac{k_{X}^{2} - k_{y}^{2}}{metro} σ_{X} + \frac{2 k_{X} k_{y}}{metro} σ_{y}

$\begin{equation} H=\frac{k_x^2-k_y^2}{m}\sigma_x+\frac{2 k_x k_y}{m}\sigma_y \end{equation}$

cuando se acopla a un campo magnético externo en dirección z, ya sea en calibre Landau o en calibre simétrico.

Respuestas (1)

Nivel de Landau para tocar banda cuadrática en Dirac Hamiltonian

qc2014 · Answer 1

Encuentro la respuesta en artículos que estudian el grafema bicapa, por ejemplo

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0034-4885/76/5/056503/meta;jsessionid=6653715AE8C3DDEC60ADA7854E2EA192.c1

y decidí escribir la respuesta a mi propia pregunta. Primero hacemos un acoplamiento mínimo al campo magnético:

H [A] = \frac{(k_{X} + mi A_{X} / C)^{2} - (k_{y} + mi A_{y} / C)^{2}}{metro} σ_{X} + \frac{(k_{X} + mi A_{X} / C) (k_{y} + mi A_{y} / C) + (k_{y} + mi A_{y} / C) (k_{X} + mi A_{X} / C)}{metro} σ_{y}

$\begin{equation} H[A]=\frac{(k_x+e A_x/c)^2-(k_y+e A_y/c)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k_x+e A_x/c)(k_y+e A_y/c)+(k_y+e A_y/c)(k_x+e A_x/c)}{m}\sigma_y \end{equation}$

Darse cuenta de $k_x k_y$ debe simetrizarse cuando se reemplaza con un momento canónico para mantener la hermicidad del hamiltoniano. En ancho Landau,

A_{X} = - B y, A_{y} = 0

$\begin{equation} A_x=-B y, A_y=0 \end{equation}$

entonces

[\frac{(- i \partial_{X} - \frac{mi B}{C} y)^{2} - (- i \partial_{y})^{2}}{metro} σ_{X} + \frac{(- i \partial_{X} - \frac{mi B}{C}) (- i \partial_{y}) + (- i \partial_{y}) (- i \partial_{X} - \frac{mi B}{C})}{metro} σ_{y}] ψ (r) = {mi}_{norte} ψ (r)

$\begin{equation} [\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(-i \partial_x-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\psi(\mathbf{r})=E_n \psi(\mathbf{r}) \end{equation}$

Debido a la invariancia traslacional en la dirección x,

ψ (r) = \frac{1}{\sqrt{L}} mi X pag [i k X] {\hat{F}}_{norte} (y)

$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{L}}exp[i k x]\hat{f}_n(y) \end{equation}$

uno encuentra

[\frac{(k - \frac{mi B}{C} y)^{2} - (- i \partial_{y})^{2}}{metro} σ_{X} + \frac{(k - \frac{mi B}{C}) (- i \partial_{y}) + (- i \partial_{y}) (k - \frac{mi B}{C})}{metro} σ_{y}] \hat{F} (y) = {mi}_{norte} \hat{F} (y)

$\begin{equation} [\frac{(k-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(k-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\hat{f}(y)=E_n \hat{f}(y) \end{equation}$

Definiendo el operador de creación y aniquilación como

a^{-} = {yo}_{B} \partial_{y} + ({yo}_{B} k - \frac{mi B}{C} y / {yo}_{B}), a^{+} = {yo}_{B} \partial_{y} - ({yo}_{B} k - \frac{mi B}{C} y / {yo}_{B}),

$\begin{equation} a^-=l_B \partial_y+(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), a^+=l_B \partial_y-(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), \end{equation}$

dónde $l_B=\sqrt{\frac{c}{e B}}$ es la longitud magnética. Tenemos

ω_{C} [\begin{matrix} 0 & {a^{+}}^{2} \\ {a^{-}}^{2} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} F_{norte}^{+} (y) \\ F_{norte}^{-} (y) \end{matrix}] = {mi}_{norte} [\begin{matrix} F_{norte}^{+} (y) \\ F_{norte}^{-} (y) \end{matrix}]

$\begin{equation} \omega_c \begin{bmatrix} 0 & {a^+}^2 \\ {a^-}^2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix}=E_n \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix} \end{equation}$ El espectro y los estados propios se pueden resolver en analogía con el problema del oscilador armónico:

{mi}_{norte}^{\pm} = \sqrt{norte (norte - 1)} ω_{C}, norte = 2, 3, \dots, {\hat{F}}_{norte, \pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} ϕ_{norte} (y) \\ \pm ϕ_{norte - 2} (y) \end{matrix}]

$\begin{equation} E_n^{\pm}=\sqrt{n(n-1)}\omega_c,n=2,3,\ldots, \hat{f}_{n,\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \phi_n(y) \\ \pm\phi_{n-2}(y) \end{bmatrix} \end{equation}$

dónde $\phi_n(y)$ son estados propios de los osciladores armónicos.

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qc2014

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