¿Cuál es el funcional de energía para el estado de Moore-Read ν=5/2ν=5/2\nu=5/2?

Conoce una expresión explícita para la función de onda de Moore-Read no normalizada en la representación de posición (compleja)

$$\begin{equation} \psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})= \mathbf{Pf}\left( \frac1{z_i-z_j} \right) \prod_{i<j} (z_i-z_j)^2 e^{-\sum_k |z_k|^2/4}\quad . \end{equation}$$ La energía de una función de onda viene dada por el valor medio correspondiente del hamiltoniano. $$\begin{equation} E_\psi=\langle H \rangle = \mathcal{N} \int dz_1\dots dz_n \left|\psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})\right|^2 H(\{z_i\}) \end{equation}$$ con la constante de normalización $$\begin{equation} \mathcal{N}= \left( \int dz_1\dots dz_n \left|\psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})\right|^2 \right)^{-1} \quad . \end{equation}$$ En su caso, supongo que el hamiltoniano solo consiste en un término de Coulomb, por lo tanto, sus elementos de matriz en el espacio de posición son $$\begin{equation} H(\{z_i\})=\frac{e^2}{4\pi\epsilon} \sum_{i<j} \frac{1}{|z_i-z_j|} \end{equation}$$ desde $||r_i-r_j||=|z_i-z_j|$.

Las dos integrales involucradas son computacionalmente costosas, pero puede beneficiarse del método de muestreo Metropolis ( http://en.wikipedia.org/wiki/Metropolis%E2%80%93Hastings_algorithm ), el método de muestreo más utilizado en los algoritmos de Monte-Carlo. Supongo. Es muy simple. En este último usted:

• elegir aleatoriamente una configuración inicial$\{z_i\}$( es decir, conjunto de posición). su probabilidad es$\pi_0=|\psi\{z_i\}|^2$.

• generar una nueva configuración a partir de la primera moviendo aleatoriamente una de las partículas. Tomo nota de la nueva probabilidad de configuración$\pi_1$.

• la nueva configuración se acepta con probabilidad 1 si tiene mayor probabilidad que la primera, y con probabilidad$\pi_1$de lo contrario.

• continúe hasta que se alcance la precisión deseada o se haya probado el número máximo de intentos.

Cada movimiento aceptado contribuye a la integral con peso 1/"número de configuraciones de muestra utilizadas". explícitamente si$I$es la cantidad que quiero calcular,$N$el número de configuraciones$i$me quedo, y$f_i$el valor del integrando para la configuración$i$,

$$\begin{equation} I=\frac1N\sum_{i=1}^N f_i \quad . \end{equation}$$

Buena suerte.