¿Cómo se escribe la función de Wightman ⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩\langle\phi(t_1)\phi(t_2)\rangle para un campo escalar masivo en el espacio de posiciones?

Question

¿Cómo se escribe la función de Wightman ⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩\langle\phi(t_1)\phi(t_2)\rangle para un campo escalar masivo en el espacio de posiciones?

tiempo
Física
propagador
teoría cuántica de campos
distribuciones-dirac-delta

QuantumEyedea

Para un campo escalar real libre $\phi(t,\mathbf{x})$ , definimos la función de Wightman como:

W (t_{1}, t_{2}) \equiv ⟨ 0 | ϕ (t_{1}, X_{1}) ϕ (t_{2}, X_{2}) | 0 ⟩

$W(t_1,t_2) \equiv \langle 0 | \phi(t_1,\mathbf{x}_1) \phi(t_2,\mathbf{x}_2) | 0 \rangle$ Estoy suprimiendo las etiquetas de posición para mayor claridad. Y el propagador de Feynman se define como:

F (t_{1}, t_{2}) \equiv ⟨ 0 | T (ϕ (t_{1}, X_{1}) ϕ (t_{2}, X_{2})) | 0 ⟩

$F(t_1,t_2) \equiv \langle 0 | \mathcal{T}\big( \phi(t_1,\mathbf{x}_1) \phi(t_2,\mathbf{x}_2) \big) | 0 \rangle$ dónde

T

$\mathcal{T}$ es el "operador" que ordena el tiempo. Esto se puede expresar en términos de la función de Wightman como

F (t_{1}, t_{2}) = Θ (t_{1} - t_{2}) W (t_{1}, t_{2}) + Θ (t_{2} - t_{1}) W (t_{2}, t_{1})

$F(t_1,t_2) = \Theta(t_1-t_2) W(t_1,t_2) + \Theta(t_2-t_1) W(t_2,t_1)$

Estas funciones tienen las propiedades

W (t_{1}, t_{2}) = W (t_{2}, t_{1})^{*} F (t_{1}, t_{2}) = F (t_{2}, t_{1})

$W(t_1,t_2) = W(t_2,t_1)^{\ast} \\ F(t_1,t_2) = F(t_2,t_1)$

Creo que se deduce de esto (corríjanme si me equivoco):

W (t_{1}, t_{2}) = R mi [F (t_{1}, t_{2})] + i s i gramo norte (t_{1} - t_{2}) I metro [F (t_{1}, t_{2})] F (t_{1}, t_{2}) = R mi [W (t_{1}, t_{2})] + i s i gramo norte (t_{1} - t_{2}) I metro [W (t_{1}, t_{2})]

$W(t_1,t_2) = \mathrm{Re}\big[ F(t_1,t_2) \big] + i \mathrm{sign}(t_1-t_2) \mathrm{Im}\big[ F(t_1,t_2) \big] \\ F(t_1,t_2) = \mathrm{Re}\big[ W(t_1,t_2) \big] + i \mathrm{sign}(t_1-t_2) \mathrm{Im}\big[ W(t_1,t_2) \big] \\$

Es bien sabido que la representación espacio-posición de $F$ para un masivo $m\neq 0$ campo es:

F (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} + i ϵ}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} + i ϵ})

$F(t_1,t_2)=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 + i \epsilon } } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 + i \epsilon } \right)$ dónde

K_{1}

$K_1$ es la función de Bessel modificada de segunda clase (de orden

1

$1$ ).

PREGUNTA: ¿Es cierto lo siguiente?

W (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}})

$W(t_1,t_2)=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 } } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 } \right)$

Me inclinaría a creer esto, ya que para un sin masa $m=0$ campo, las funciones correspondientes son:

F (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} + i ϵ} W (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}

$F(t_1,t_2) = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{-(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 + i \epsilon} \\ W(t_1,t_2) = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{-(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2}$

Respuestas (1)

¿Cómo se escribe la función de Wightman ⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩\langle\phi(t_1)\phi(t_2)\rangle para un campo escalar masivo en el espacio de posiciones?

Valter Moretti · Answer 1

La respuesta es positiva y el resultado se puede probar por separado a partir de la expresión que citó para el propagador de Feynman, simplemente expandiendo los campos cuánticos difusos en modos de momento definido y calculando límites débiles ( $\epsilon$ -recetas). Sin embargo, una prueba formal de cómo la fórmula del propagador de Feynman da lugar a la de la función de dos puntos se puede obtener de la siguiente manera (hay detalles matemáticos para arreglar) De

\begin{matrix} (1) & F (t_{1}, t_{2}) = Θ (t_{1} - t_{2}) W (t_{1}, t_{2}) + Θ (t_{2} - t_{1}) W (t_{2}, t_{1}) \end{matrix}

$F(t_1,t_2) = \Theta(t_1-t_2) W(t_1,t_2) + \Theta(t_2-t_1) W(t_2,t_1) \tag{1}$ tienes, donde la barra denota la conjugación compleja,

\bar{F (t_{1}, t_{2})} = Θ (t_{1} - t_{2}) \bar{W (t_{1}, t_{2})} + Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{W (t_{2}, t_{1})} .

$\overline{F(t_1,t_2)} = \Theta(t_1-t_2) \overline{W(t_1,t_2)} + \Theta(t_2-t_1) \overline{W(t_2,t_1)}\:.$ Sin embargo, asumiendo los campos cuánticos hermitianos, también tienes

\bar{W (t_{1}, t_{2})} = W (t_{2}, t_{1})

$\overline{W(t_1,t_2)}= W(t_2,t_1)$ de modo que

\begin{matrix} (2) & \bar{F (t_{1}, t_{2})} = Θ (t_{1} - t_{2}) W (t_{2}, t_{1}) + Θ (t_{2} - t_{1}) W (t_{1}, t_{2}) . \end{matrix}

$\overline{F(t_1,t_2)} = \Theta(t_1-t_2) {W(t_2,t_1)} + \Theta(t_2-t_1) {W(t_1,t_2)}\:.\tag{2}$ Multiplicando (1) por

Θ (t_{1} - t_{2})

$\Theta(t_1-t_2)$ y (2) para

Θ (t_{2} - t_{1})

$\Theta(t_2-t_1)$ obtenemos

\begin{matrix} (1') & Θ (t_{1} - t_{2}) F (t_{1}, t_{2}) = Θ (t_{1} - t_{2}) W (t_{1}, t_{2}) \end{matrix}

$\Theta(t_1-t_2)F(t_1,t_2) = \Theta(t_1-t_2) W(t_1,t_2) \tag{1'}$ y

\begin{matrix} (2') & Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{F (t_{1}, t_{2})} = Θ (t_{2} - t_{1}) W (t_{1}, t_{2}) . \end{matrix}

$\Theta(t_2-t_1)\overline{F(t_1,t_2)} = \Theta(t_2-t_1) {W(t_1,t_2)}\:.\tag{2'}$ Sumando lado a lado

Θ (t_{1} - t_{2}) F (t_{1}, t_{2}) + Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{F (t_{1}, t_{2})} = (Θ (t_{1} - t_{2}) + Θ (t_{2} - t_{1})) W (t_{1}, t_{2}) .

$\Theta(t_1-t_2)F(t_1,t_2) + \Theta(t_2-t_1)\overline{F(t_1,t_2)} = (\Theta(t_1-t_2) + \Theta(t_2-t_1))W(t_1,t_2)\:.$ En otras palabras

\begin{matrix} (3) & W (t_{1}, t_{2}) = Θ (t_{1} - t_{2}) F (t_{1}, t_{2}) + Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{F (t_{1}, t_{2})} . \end{matrix}

$W(t_1,t_2) = \Theta(t_1-t_2)F(t_1,t_2) + \Theta(t_2-t_1)\overline{F(t_1,t_2)}\tag{3}\:.$ No es difícil que esta identidad produzca

\begin{matrix} (4) & W (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}) \end{matrix}

$W(t_1,t_2)=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 } } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 } \right)\tag{4}$ de

F (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} + i ϵ}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} + i ϵ}) .

$F(t_1,t_2)=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 + i \epsilon } } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 + i \epsilon } \right)\:.$ En particular, dado que tanto la raíz cuadrada como

K_{1}

$K_1$ tener la propiedad de que

\bar{f (z)} = f (\bar{z})

$\overline{f(z)}= f(\overline{z})$ en la rama considerada de sus dominios (que son superficies de Riemann)

\bar{F (t_{1}, t_{2})} = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} - i ϵ}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} - i ϵ}) .

$\overline{F(t_1,t_2)}=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 - i \epsilon } } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 - i \epsilon } \right)\:.$ Si

t_{2} - t_{1} > 0

$t_2-t_1>0$ , podemos reemplazar

i ϵ

$i \epsilon$ para

2 i ϵ (t_{2} - t_{1})

$2i \epsilon(t_2-t_1)$ productor

Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{F (t_{1}, t_{2})} = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro Θ (t_{2} - t_{1})}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} - 2 i ϵ (t_{2} - t_{1})}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2})^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2} - 2 i ϵ (t_{2} - t_{1})}) .

$\Theta(t_2-t_1)\overline{F(t_1,t_2)}=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m\Theta(t_2-t_1)}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 - 2i \epsilon (t_2-t_1)} } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2 - 2i \epsilon (t_2-t_1)} \right)\:.$ A saber,

Θ (t_{2} - t_{1}) \bar{F (t_{1}, t_{2})} = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro Θ (t_{2} - t_{1})}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}) .

$\Theta(t_2-t_1)\overline{F(t_1,t_2)}=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m\Theta(t_2-t_1)}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2} } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2} \right)\:.$ El mismo argumento produce análogamente

Θ (t_{1} - t_{2}) F (t_{1}, t_{2}) = \underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \frac{metro Θ (t_{1} - t_{2})}{4 π^{2} \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}} k_{1} (metro \sqrt{- (t_{1} - t_{2} - i ϵ)^{2} + | X_{1} - X_{2} |^{2}}) .

$\Theta(t_1-t_2)F(t_1,t_2)=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{m\Theta(t_1-t_2)}{4\pi^2 \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2} } K_{1}\left( m \sqrt{ -(t_1-t_2-i\epsilon)^2 + |\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2|^2} \right)\:.$ Usando (3), encontramos solo su identidad (4).

¿Cómo se escribe la función de Wightman ⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩⟨ϕ(t1)ϕ(t2)⟩\langle\phi(t_1)\phi(t_2)\rangle para un campo escalar masivo en el espacio de posiciones?

QuantumEyedea

Respuestas (1)

Valter Moretti

Sin masa m=0m=0m=0 Transformada de Fourier 4D de (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

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