Muestre que transportarse en paralelo no cambia el ángulo entre ellos: tensores [cerrado]

Question

Muestre que transportarse en paralelo no cambia el ángulo entre ellos: tensores [cerrado]

Roshan Shrestha

Debo decirles que nunca he visto este tipo de pregunta en Tensor Analysis. Nuestro profesor había puesto esta pregunta en nuestro examen, pero no sé si pertenece a los tensores o no. La pregunta es así:

1. Si un vector $u^{i}$ se transporta paralelamente a lo largo de una curva S, entonces
${tu}^{i}_{; j} \frac{d X^{j}}{d S} = 0.$ $u^{i}{}_{; j}~ \frac{dX^{j}}{dS}~=~0.$ 2. Si el ángulo entre $u^{i}$ y $v^{j}$ es $\theta$ , demuestre que transportarse en paralelo no cambia el ángulo entre ellos.

una mente curiosa

Su notación me parece un poco no estándar, especialmente la parte con el

d X / d S

$\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . ¿Es un campo vectorial? Explique un poco su pregunta.

Roshan Shrestha

Ese ha sido realmente el problema para mí también, en primer lugar, ¿hay algún error en mi pregunta? Incluso yo estoy luchando por entender la pregunta.

una mente curiosa

Además, ¿con respecto a qué conexión nos transportamos en paralelo (Levi-Civita naturalmente viene a la mente)?

Roshan Shrestha

Quiero reformular esta pregunta como: Muestre que el ángulo entre dos vectores permanece invariable o no cambia en el transporte paralelo de desplazamiento paralelo.

Respuestas (1)

Muestre que transportarse en paralelo no cambia el ángulo entre ellos: tensores [cerrado]

Su notación me parece un poco no estándar, especialmente la parte con el $\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . ¿Es un campo vectorial? Explique un poco su pregunta.
Ese ha sido realmente el problema para mí también, en primer lugar, ¿hay algún error en mi pregunta? Incluso yo estoy luchando por entender la pregunta.
Además, ¿con respecto a qué conexión nos transportamos en paralelo (Levi-Civita naturalmente viene a la mente)?
Quiero reformular esta pregunta como: Muestre que el ángulo entre dos vectores permanece invariable o no cambia en el transporte paralelo de desplazamiento paralelo.

auxsvr · Answer 1

un vector $u^a$ se transporta en paralelo a lo largo de la curva integral del vector tangente $V^a \equiv \frac{dX^a}{d s}$ si tenemos $V^a\nabla_a u^b =0$ (un vector transportado en paralelo con respecto a sí mismo define una geodésica). El ángulo entre dos vectores. $v^a$ y $u^a$ es dado por $\cos\theta = \frac{v^a u_a}{\sqrt{v^av_a u^bu_b}}$ , por lo tanto tomamos:

V^{a} \nabla_{a} ({tu}^{b} v_{b}) = v_{b} V^{a} \nabla_{a} {tu}^{b} + V^{a} {tu}^{b} \nabla v_{b} = 0,

$V^a \nabla_a (u^b v_b) = v_bV^a \nabla_a u^b+ V^a u^b \nabla v_b = 0,$ ya que los vectores

v^{a}

$v^a$ y

u^{a}

$u^a$ son transportados en paralelo con respecto a

V^{a}

$V^a$ . Desde

V^{a} \nabla_{a} (u^{b} u_{b}) = 0

$V^a \nabla_a (u^b u_b) = 0$ por la misma razón,

θ

$\theta$ permanece constante a lo largo de la curva integral de

V^{a}

$V^a$ .

Lo siento, pero estoy bastante perdido en los símbolos que se usan aquí, ¿podría proporcionarme las referencias o enlaces para estudiarlo más a fondo por mi cuenta?
Estoy usando $\nabla_a$ en lugar de ${}_{;a}$ y $s$ es el parámetro afín de $X^a$ .
Gracias, cualquier referencia o enlace para que pueda explorar más a fondo, ya que no soy estudiante de GR y quiero aprender sinceramente sobre esto desde lo básico, aunque tengo un conocimiento sólido sobre tensores, bueno, al menos en un nivel básico.
Si usa Google, hay muchas notas de conferencias sobre GR, pero requieren comprensión de cálculo, álgebra lineal, mecánica, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, etc.

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Roshan Shrestha

una mente curiosa

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Roshan Shrestha

auxsvr

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auxsvr

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