¿La derivada parcial es un vector o un vector dual?

A continuación, se incluyen algunos extractos del libro Introducción a la teoría clásica de partículas y campos (2007) de B. Kosyakov.

Las declaraciones controvertidas/engañosas/erróneas están marcadas en$\color{Red}{\rm red}$. Estamos de acuerdo con OP en que las declaraciones marcadas en$\color{Red}{\rm red}$son terminología/convenciones estándar opuestas. Algunas (no todas) las declaraciones correctas están marcadas en$\color{Green}{\rm green}$.

1.2 Estructuras afines y métricas

[...] Dejar${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$y${\bf e}^{\prime}_1$,$\ldots$,${\bf e}^{\prime}_n$ser dos bases arbitrarias. Cada$\color{Green}{\rm vector}$de esta última base puede ampliarse en términos de$\color{Green}{\rm vectors}$de la base anterior:

$${\bf e}^{\prime}_i ~=~ {\bf e}_j~L^j{}_i .\tag{1.37}$$

[...] Así, los funcionales lineales forman el espacio vectorial dual$V^{\prime}$. Si$V$es$n$-dimensional, también lo es$V^{\prime}$. De hecho, deja${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$ser una base en$V$. Entonces cualquier$\omega\in V^{\prime}$se especifica por$n$numeros reales$\omega_1=\omega({\bf e}_1)$,$\ldots$,$\omega_n=\omega({\bf e}_n)$, y el valor de$\omega$en${\bf a} = a^i {\bf e}_i$es dado por

$$\omega({\bf a}) ~=~ \omega_i a^i .\tag{1.52}$$ Vemos eso $V^{\prime}$es isomorfo a $V$. Es por eso que a veces nos referimos a los funcionales lineales como $\color{Green}{covectors}$. Una mirada más cercana a (1.52) muestra que un $\color{Green}{\rm vector}$ ${\bf a}$puede considerarse como un funcional lineal en $V^{\prime}$. Se puede demostrar (Problema 1.2.3) que cambiar la base (1.37) implica la transformación de $\omega_i$según la misma ley: $$\omega^{\prime}_i ~=~\omega_j ~L^j{}_i .\tag{1.53}$$ Por lo general, suprimiremos el argumento de $\omega({\bf a})$e identificar $\omega$con sus componentes $\omega_i$. [...]

1.3 Vectores, tensores y$n$-Formularios

[...] Una generalización simple de vectores y covectores son tensores. Algebraicamente, un tensor$T$de rango$\color{Green}{(m,n)}$es un mapeo multilineal

$$\color{Green}{T: \underbrace{V^{\prime} \times\ldots\times V^{\prime}}_{m\text{ times}} \times \underbrace{V \times\ldots\times V}_{n\text{ times}} \to \mathbb{R}}. \tag{1.112}$$ Ya hemos encontrado ejemplos de tensores en la sección anterior: un escalar es un rango $(0,0)$tensor, un $\color{Green}{\rm vector}$es un rango $\color{Green}{(1,0)}$tensor, un $\color{Green}{\rm covector}$es un rango $\color{Green}{(0,1)}$tensor, la métrica $g_{ij}$es un rango $(0,2)$, tiempo $g^{ij}$es un rango $(2,0)$tensor y delta de Kronecker $\delta^i{}_j$es un rango $(1,1)$tensor. Tal como $\color{Green}{\rm four~vectors}$pueden ser considerados como objetos que se transforman de acuerdo con la ley $$a^{\prime \mu} ~=~ \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}} ~a^{\nu} ,\tag{1.113}$$ dónde $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$es la matriz de transformación de Lorentz que relaciona los dos marcos de referencia, por lo que los tensores de rango $(m,n)$se puede describir en términos de representaciones de grupos de Lorentz por el requisito de que su ley de transformación sea $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ \color{Red}{\Lambda^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots\Lambda^{\beta_n}{}_{\nu_n}}. \tag{1.114}$$

[...] El operador diferencial

$$\partial_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \tag{1.140}$$ se transforma como un $\color{Green}{\rm covariant~vector}$. Para ver esto, usamos la regla de la cadena para la diferenciación: $$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime \nu}}, \tag{1.141}$$ y tenga en cuenta que, para transformaciones de coordenadas lineales $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$ $$\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}. \tag{1.142}$$ Siempre usaremos la notación abreviada $\partial_{\mu}$, y trate este operador diferencial como un operador ordinario $\color{Green}{\rm vector}$. [...]

1.4 Líneas y Superficies

[...] Definimos una hipersuperficie$M_{n−1}$por

$$F(x) ~=~ C , \tag{1.176}$$ dónde $F$es una función suave arbitraria $\mathbb{M}_4 \to \mathbb{R}$. Derivando (1.176) se obtiene $$(\partial_{\mu}F) dx^{\mu} ~=~ 0 . \tag{1.177}$$ Uno puede ver $dx^{\mu}$como un $\color{Green}{\rm covector}$, y $\partial_{\mu}F$como un $\color{Red}{\rm vector}$. Por cierto, $dx^{\mu}$se transforma como un $\color{Red}{\rm covector}$bajo transformaciones de coordenadas lineales $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$, $$dx^{\prime\mu} ~=~ \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~dx^{\nu}, \tag{1.178}$$ y $\partial_{\mu}F$se transforma como un $\color{Red}{\rm vector}$: $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}\color{Red}{\Lambda^{\nu}{}_{\mu}}. \tag{1.179}$$ En el espacio de Minkowski, los vectores y covectores se pueden convertir entre sí de acuerdo con (1.121). Por esta razón, a menudo consideraremos $dx^{\mu}$como vectores. [...]

A. Formas diferenciales

[...] Elie Cartan propuso usar coordenadas diferenciales$dx^i$como una base conveniente de$\color{Green}{\rm one~forms}$. los diferenciales$dx^i$transformar como$\color{Red}{\rm covectors}$bajo un cambio de coordenadas local,

$$dx^{\prime j}~=~ \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}dx^i. \tag{A.1}$$ [Si el cambio de coordenadas está especializado en transformaciones euclidianas $x^{\prime j} =\color{Red}{L^j{}_i} ~x^i + c^j$, después $\partial x^{\prime j} /\partial x^i$reduce a $\color{Red}{L^j{}_i}$, una matriz ortogonal con entradas constantes, y (A.1) $\color{Red}{\rm becomes}$(1.53), la ley de transformación para $\color{Green}{\rm covectors}$.] [...]

Notas:

1. La ecuación corregida. (1.114) dice

   $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ (\Lambda^{-1})^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots(\Lambda^{-1})^{\beta_n}{}_{\nu_n}. \tag{1.114}$$

2. La ecuación corregida. (1.179) dice

   $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}. \tag{1.179}$$

3. Para explicar por qué (A.1) no se convierte en (1.53), sea${\bf e}^1$,$\ldots$,${\bf e}^n$, ser una base (dual) en$V^{\prime}$. A la luz de (1.53), para un covector$\omega=\omega_i{\bf e}^i\in V^{\prime}$Para ser independiente de la elección de la base, la base dual debe transformarse como

   $${\bf e}^{\prime i} ~=~ M^i{}_j ~{\bf e}^j, \tag{*}$$ dónde $$M~=~L^{-1}. \tag{1.45}$$ Identificando las bases duales${\bf e}^i\leftrightarrow dx^i$, la ecuación anterior (*) se convierte en (A.1). Además, en la oración debajo de la eq. (A.1), el$L$La matriz debe ser reemplazada por la$M$matriz en dos lugares.

4. Finalmente, respondamos la pregunta del título de OP: una derivada parcial$\partial_{\mu}F$(de una función escalar$F$) es un componente de un vector cotangente$dF=(\partial_\mu F)dx^\mu$, mientras que la derivada parcial no aplicada$\partial_{\mu}$es un elemento base local de un vector tangente. Ambas cosas$\partial_{\mu}F$y$\partial_{\mu}$transformar como covectores.

Eché un vistazo rápido a las páginas 59 y 60 de "Gravitación", sección 2.6 "Gradientes y derivadas direccionales", para ver si hay algo que podamos usar para aclarar este problema.

En esta sección, el gradiente de$f$es$\mathbf df$, la derivada direccional a lo largo del vector$\mathbf v$es$\partial_{\mathbf v}f$y se cumple la siguiente relación:

Entonces asumiendo un conjunto de formas base$\mathbf dx^{\mu}$y vectores de base dual$\mathbf e_{\mu}$tenemos

Entonces, de acuerdo con MTW en esta sección,$\partial_{\mu} f$son los componentes de$\mathbf df$sobre esta base.

Por lo tanto, debe ser que, por la segunda ecuación en la pregunta,

que es solo la expansión de la forma$\mathbf df$en las formas de base$\mathbf dx^{\mu}$

En cuanto a por qué Kosyakov identificaría esto como una contracción de una forma y un vector, no tengo ni idea.

Creo que esto es solo un uso impreciso del lenguaje por parte del autor: no sucede nada misterioso, simplemente no está bien expresado:

Como se indica en la pregunta, para una hipersuperficie$\Sigma$definido por

encontramos eso

debe aguantar$\Sigma$. Esto es crucial : significa que el formulario 1$\mathrm{d}F$actuando sobre vectores tangentes de $\Sigma$debe desaparecer de forma idéntica:

Pero podemos reconocer$(\partial_\mu F)v^\mu$como el producto escalar de los vectores$v$y$g(\mathrm{d}F,\dot{})$, siendo este último el habitual dual de$\mathrm{d}F$con componentes$\partial^\mu F$. Ya que$T_x\Sigma \subset T_x\mathbb{M}^4$naturalmente, esto significa que$\mathrm{d}F = 0$de hecho barre una hipersuperficie en el espacio tangente que tiene, en dicción descuidada, el gradiente como su normal (aunque en realidad es su dual).

Creo que estás confundido porque estás mezclando cantidades relacionadas pero ligeramente diferentes.

Sí, una derivada parcial es un vector y sí, un vector es un objeto con un índice superior.

La afirmación anterior puede parecer contradictoria, pero en realidad no lo es por la siguiente razón. Un vector es una cantidad abstracta que es un elemento de un "espacio vectorial". En este caso, el espacio vectorial que se está discutiendo es el espacio tangente. En un espacio vectorial, se puede elegir una base, cualquier base. Una vez que se ha elegido una base, se puede describir cualquier otro vector en el espacio vectorial simplemente prescribiendo un conjunto de números. por ejemplo en${\mathbb R}^2$(más bien el espacio afín correspondiente), uno puede elegir una base de vectores como${\hat x}$y${\hat y}$. Una vez hecho esto, cualquier otro vector puede describirse simplemente con 2 números. Por ejemplo los números$(1,2)$realmente implica que estamos hablando del vector${\hat x} + 2 {\hat y}$.

¿Cómo se aplica aquí la discusión anterior?

En el espacio tangente, una elección natural de base es el conjunto de derivadas parciales$\partial_\mu = \{ \partial_0 , \partial_1 , \partial_2 , \partial_3 \}$(asumiendo que estamos en$M_4$. Cada derivada parcial es en sí misma un vector.

Ahora, una vez que se ha elegido esta base, cualquier otro vector se puede describir mediante un conjunto de 4 números$v^\mu = (v^0 , v^1 , v^2 , v^3)$que corresponde al vector$v^\mu \partial_\mu$. Es este sentido, que la afirmación en negrita anterior es verdadera. A menudo, dado que la base de las derivadas parciales es obvia, uno simplemente describe un vector como un objeto con un índice superior$v^\mu$.

A continuación, analicemos los co-vectores (cantidades con un índice más bajo). Estos son elementos del espacio vectorial dual (que es el espacio de funciones lineales en el espacio vectorial) del espacio tangente. Dada la base de la derivada parcial en el espacio tangente, entonces se tiene una base natural en el espacio cotangente denotado por$dx^\mu = \{ dx^0 , dx^1 , dx^2 , dx^3 \}$. Tenga en cuenta que cada diferencial en sí mismo es un covector. Esta base natural está definida por la relación$dx^\mu (\partial_\nu ) = \delta^\mu_\nu$. Como antes, una vez elegida esta base natural, cualquier elemento del espacio cotangente puede describirse mediante 4 números, a saber$v_\mu = \{ v_0, v_1 , v_2 , v_3 \}$que corresponde al covector$v_\mu dx^\mu$.

En resumen ,$\partial_\mu$para cada$\mu$corresponde a un vector de 4 dimensiones mientras que$v^\mu$para cada$\mu$corresponde a 4 componentes de un solo vector. Similarmente,$dx^\mu$para cada$\mu$corresponde a un covector de 4 dimensiones mientras que$v_\mu$para cada$\mu$corresponde a 4 componentes de un solo covector.

PD 1 - A veces a la gente le gusta usar bases distintas a$\partial_\mu$y$dx^\mu$en los espacios tangente y cotangente respectivamente. Estas se conocen como bases no coordinadas.

PD 2 - Para que quede claro,$\partial_\mu$es un vector, pero$\partial_\mu F$es una funcion

Es interesante notar que Elie Cartan no escribió$dx^i$como lo hacemos hoy. Todavía no había adoptado las distinciones cuidadosas, al estilo de Ricci, con índices. para él,$x_i$no era un componente o coordenada de nada: era una función en la variedad, o al menos en un pequeño vecindario, por lo que era una forma de grado cero, no tenía componentes en absoluto, no era ni covariante ni contravariante, es simplemente lo mismo como$x$o$X$o$Z$. Ahora la "d" es un operador, que cuando se aplica a formas p, produce$(p+1)$formas, por lo que, cuando se aplica a$x_1$, produce una forma 1, que es un vector cotangente en cada punto de la variedad. Entonces un covector, entonces covariante. Asi que$dx_i$tiene componentes covariantes. Pero es un covector. Sus componentes son$\partial x_i\over \partial x_1$etc. Ahora de la misma manera,$\partial _{x_i}$es un vector (campo, es decir, un vector que depende del punto en la variedad). No es el componente de nada, pero tiene componentes. Esto es para corregir el punto 4 de @Qmechanic.

Su perplejidad se aclararía si no usara índices para las funciones de coordenadas, sino que las llamara x, y y z. O incluso solo x e y. A menudo, dos dimensiones son suficientes para aclarar la mayoría de las cosas. Y olvídese de la convención de Einstein o los signos de suma, escriba las sumas explícitamente. El uso de índices para indicar varios objetos, en este caso funciones, puede causar una gran confusión con el uso de índices para indicar los diversos componentes del objeto. Cartan puso los índices debajo de la x,$x_i$, porque estábamos pensando en$n$diferentes objetos, no el$n$componentes de un objeto. Las funciones con valores escalares no tienen ningún componente en absoluto....