Componentes covariantes y contravariantes de un vector en sistema de coordenadas curvilíneas

Sin embargo, no estoy seguro de cómo se traduce esto en sistemas de coordenadas curvilíneas.

En un sistema de coordenadas curvilíneas, los ejes "rectos" se definen puntualmente como las líneas tangentes a las líneas de coordenadas en ese punto. En otras palabras, y quizás con mayor intuición, las curvas de coordenadas son curvas sobre la variedad, que en cada punto$x\in M$definir un sistema de coordenadas "lineal" del tipo algebraico lineal en el espacio tangente$T_xM$en ese punto.

Entonces, funcionan de la misma manera que lo hacen con el sistema de coordenadas lineales, pero debe considerar cada espacio tangente por separado.

Otra cosa que no entiendo: ¿no son los covectores, y no los vectores, los objetos matemáticos que tienen componentes covariantes? ¿Por qué decimos que un vector puede tener componentes tanto covariantes como contravariantes?

Usando terminología estándar , los vectores tienen componentes contravariantes y los covectores tienen componentes covariantes.

Sin embargo, hay un "abuso de perspectiva" común, por así decirlo. Si su múltiple$M$está equipado con un tensor métrico no degenerado$g:TM\times_M TM\rightarrow\mathbb R$, entonces, como OP probablemente sepa, la métrica realiza un isomorfismo de paquete vectorial (estricto) entre el paquete tangente y el paquete cotangente (o hablando algebraicamente, un producto interno realiza un isomorfismo entre el espacio vectorial y su dual). Denotemos este isomorfismo como$\sharp:T^\ast M\rightarrow TM$("elevar") y su inversa como$\flat:TM\rightarrow T^\ast M$("encapotado").

Por la propiedad habitual de los espacios duales, si$e_a$, ($a=1,..,n$) es un marco local para$TM$, entonces hay un marco local único$\theta^a$($a=1,...,n$) para$T^\ast M$que satisface$\theta^a(e_b)=\delta^a_b$. Este es el conocido marco dual.

Pero entonces podemos aplicar "subir" a la$\theta^a$y obtener$e^a:=\sharp\theta^a$. Estos son ahora campos vectoriales locales (en lugar de 1-formas/covectores) en$M$que satisfacen (por la definición del isomorfismo métrico)$g(e^a,e_b)=\delta^a_b$.

Si uno está tan dispuesto, uno puede llamar$e^a$ser un "marco recíproco" en lugar de un marco dual, ya que los elementos del marco recíproco son campos vectoriales locales, no campos covectoriales.

Entonces podemos decir que si un vector o campo vectorial local$v$se da, podemos expresarlo como$v=v^a e_a=v_a e^a$en cualquiera de los cuadros. Como se puede ver fácilmente, los "componentes covariantes"$v_a$tienen exactamente las mismas propiedades y forma que los componentes de$\flat v$(la "bajada" de$v$) en el cuadro dual.

Por lo tanto, uno puede prescindir por completo de los covectores y los tensores bigraduados, y considerar que todos los tensores se clasifican por grado/rango/orden (número de índices) solo con el entendimiento de que todos los índices se pueden tomar con respecto a un marco o su marco recíproco, y luego todo funcionará exactamente de la misma manera que si uno hubiera considerado tensores bígrados desde el principio, pero uno no tiene que aprender también sobre espacios duales y demás.

Sin embargo, esta forma de ver las cosas es "antinatural" y requiere un tensor métrico fijo.

Otra cosa que no entiendo: ¿no son los covectores, y no los vectores, los objetos matemáticos que tienen componentes covariantes?

OP no quiso decir esto, pero me siento obligado a decir también aquí que la terminología "tradicional" de contravariante y covariante está completamente al revés con respecto al punto de vista moderno de la teoría de categorías. Si$M,N$son variedades suaves y$\phi:M\rightarrow N$es un mapa suave, entonces los vectores tangentes (que son los que tradicionalmente tienen componentes contravariantes) se transportan a lo largo del mapa$\phi$a través del funtor tangente$T:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, que es un funtor covariante , y los covectores (que son los que tradicionalmente tienen componentes covariantes) se transportan hacia atrás a lo largo del mapa$\phi$a través del funtor cotangente$T^\ast:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, que es un funtor contravariante .

Desde cuando$\phi$es un difeomorfismo, esta es esencialmente la versión libre de coordenadas de la fórmula de cambio de coordenadas, los vectores tangentes deben llamarse covariantes y contravariantes de 1 forma.

Creo que necesitamos definir una base recíproca , además de la base normal de los vectores.

El caso más simple de curvilíneo son las coordenadas polares en el plano. Un punto$P = [X,Y]$en coordenadas cartesianas, será$P(r,θ) = [r cos(θ) , r sin(θ)]$.

El vector base es ahora una función de$P$. Para la base normal tomamos el gradiente:

Si bien es ortogonal, no es ortonormal. Definimos vectores recíprocos:$\mathbf e^r$y$\mathbf e^θ$de modo que:

Siguiendo esos requisitos:

Ahora podemos encontrar las componentes de un pequeño vector en la vecindad de$P$. Primero las contravariantes, que son el producto escalar con la base recíproca (es fácil probar que para coordenadas rectas equivale a trazar rectas paralelas al eje):

Si llamamos:$\mathbf dV.\mathbf e^r = dr\;$y$\;\mathbf dV.\mathbf e^θ = dθ$

Los componentes covariantes son el producto escalar del vector con la base normal. Pero tiene que expresarse como una combinación lineal de su base recíproca:

La longitud del vector es:$dV^2 = \mathbf dV^i\mathbf dV_i = [dr\mathbf e_r + dθ\mathbf e_θ][dr\mathbf e^r + r^2 dθ\mathbf e^θ] = dr^2 + r^2dθ^2$

Los componentes del tensor métrico son:$g_{rr} = \mathbf e_r.\mathbf e_r = 1; g_{rθ} = \mathbf e_r.\mathbf e_θ = 0; g_{θr} = \mathbf e_θ.\mathbf e_r = 0; g_{θθ} = \mathbf e_θ.\mathbf e_θ = r^2$