Movimiento browniano: valor esperado de los poderes pares de la función de correlación de velocidad

Question

Movimiento browniano: valor esperado de los poderes pares de la función de correlación de velocidad

Física
Tarea-y-ejercicios
Mecánica-estadística
Movimiento-browniano
Procesos-estocásticos
Funciones-de-correlación

Bella

Dada una partícula browniana sujeta a fricción $γ$ $γ$ $γ$ y un ruido blanco gaussiano $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ con varianza $σ$ $σ$ $σ$ , las ecuaciones de Langevin son

{\begin{cases} \frac{re v (t)}{re t} = - \frac{γ}{metro} v (t) + \frac{1}{metro} ξ (t) \\ \frac{re v (t)}{re t} = v (t) \end{cases}

Es posible resolver estas ecuaciones y, suponiendo $v (0) = 0$ $v (0) = 0$ $v (0 0) = 0 0$ , obtener

{⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = \frac{sol}{2 metro γ} (1 - {mi}^{- 2 \frac{γ}{metro} t}),

dónde $g$ $g$ $sol$ proviene del ruido delta correlacionado,

{⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ⟩}_{ξ} = sol δ (t_{2} - t_{1}) .

Pregunta: Lo que ahora quiero saber es si es posible calcular ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4 4} (t) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6 6} (t) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ , etc ..., de ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ . ¿Lo es?

Sé que podemos calcular las integrales que surgen de esto directamente usando el teorema de Wick, por ejemplo, tenemos la siguiente identidad que puede usarse para calcular ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4 4} (t) ⟩}_{ξ}$

{⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ξ (t_{3}) ξ (t_{4 4}) ⟩}_{ξ} = {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{4 4}) ξ (t_{4 4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{3}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{2}) ξ (t_{4 4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{4 4}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{2}) ξ (t_{3}) ⟩}_{ξ}

pero me gustaría saber si podemos evitar el largo camino de calcular todas estas integrales simplemente usando el resultado para ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ .

EDITAR:

Haciendo la "fuerza bruta" integral, usando el teorema de Wick, calculé ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4 4} (t) ⟩}_{ξ}$ y obtenido

{⟨ v^{4 4} (t) ⟩}_{ξ} = 3 {(\frac{sol}{2 metro γ})}^{2} {mi}^{- \frac{4 4 γ}{metro} t} {({mi}^{\frac{2 γ}{metro} t} - 1)}^{2}

Mi cálculo es largo y por eso solo estoy publicando el resultado final. No sé si esto es correcto, pero si usted lo sabe o sabe qué referencia verificar, ¿podría indicarme si este resultado es correcto? ¡Estaria agradecido!

DanielSank

El teorema de Wick es el camino a seguir. Sin embargo, probablemente puedas descubrir un patrón recursivo para ahorrar tiempo.

Bella

Gracias @DanielSank. De hecho, me gustaría encontrarlo, pero mientras tanto intenté hacerlo con fuerza bruta para el cuarto poder. No sé si mi resultado es correcto. ¿Tienes alguna forma de verificar? Sería muy útil. Editaré la pregunta y publicaré mi resultado. Por favor dame un comentario! :)

LonelyProf

No estoy seguro de por qué necesita hacer integrales.

v (t)

v (t)

v (t)

solo se distribuye como un gaussiano con media cero, por lo que el cuarto momento es 3 veces el segundo momento al cuadrado, etc., como muestra el resultado de la fuerza bruta.

Respuestas (1)

Movimiento browniano: valor esperado de los poderes pares de la función de correlación de velocidad

El teorema de Wick es el camino a seguir. Sin embargo, probablemente puedas descubrir un patrón recursivo para ahorrar tiempo.
Gracias @DanielSank. De hecho, me gustaría encontrarlo, pero mientras tanto intenté hacerlo con fuerza bruta para el cuarto poder. No sé si mi resultado es correcto. ¿Tienes alguna forma de verificar? Sería muy útil. Editaré la pregunta y publicaré mi resultado. Por favor dame un comentario! :)
No estoy seguro de por qué necesita hacer integrales. $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ solo se distribuye como un gaussiano con media cero, por lo que el cuarto momento es 3 veces el segundo momento al cuadrado, etc., como muestra el resultado de la fuerza bruta.

LonelyProf · Answer 1

Espero que me disculpe copiando mi comentario como respuesta. La ecuación de Langevin es lineal, por lo que la naturaleza gaussiana de la fuerza aleatoria implica que $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ se distribuye como gaussiano. Por lo tanto, dada la velocidad inicial cero, el cuarto momento es 3 veces el cuadrado del segundo momento, etc. Esto es lo que encontró cuando hizo el cálculo de la fuerza bruta.

[Editar siguiente comentario OP]

Mas detalle. Para una variable distribuida gaussianamente, todos los momentos están determinados por los dos primeros. Se puede encontrar una tabla, por ejemplo, en la página de Wikipedia en la sección "Momentos" (donde también dan una fórmula general). En el caso de que la distribución tenga media cero $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (t) ⟩ = 0 0$ , se aplican las fórmulas en la columna de la derecha de esa tabla (momentos centrales): si $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ , luego $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4 4} ⟩ = 3 σ^{4 4}$ , $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6 6} ⟩ = 15 σ^{6 6}$ etc. Si la velocidad inicial no es cero, lo que significa que $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0 0$ , se aplican las fórmulas en la columna central: un poco más complicado, pero no tan malo como escribir las integrales sobre la fuerza aleatoria.

Otra forma de expresar esto es decir que los acumulantes de orden superior de la distribución gaussiana son cero (es decir, orden superior que el segundo acumulativo).

¡Gracias! Aunque me temo que no entiendo tu razonamiento. ¿Por qué dices que el cuarto momento es 3 veces el cuadrado del segundo momento? ¿Y cómo se generaliza esto para los poderes superiores?
Gracias. Luego, solo para aclarar, ya que usó el mismo símbolo: usted define ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ , pero esto no es lo mismo $σ$ $σ$ $σ$ para la varianza de la fuerza aleatoria que definí anteriormente, ¿verdad?
Perdón por no dejar eso claro. Solo estaba usando $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ (y $μ$ $μ$ $μ$ ) para que coincida con la tabla en la página de Wikipedia, y por supuesto quise decir la varianza (y el valor medio) de la variable $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ . Debería haber dicho que este no es el parámetro asociado con la distribución de la fuerza aleatoria.

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