¿Cómo se convierte la entropía en la función de disipación del teorema de fluctuación?

Question

¿Cómo se convierte la entropía en la función de disipación del teorema de fluctuación?

Física
Entropía
Mecánica-estadística
Fluctuación-disipación

aidan.plenert.macdonald

En "El teorema de la fluctuación" de Evans y Searles , derivan el teorema de fluctuación transitoria del teorema de Liouville (pág. 1541). Siguiendo su notación $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{pag})$ , usan el teorema de Liouville y la ecuación de continuidad para concluir que

\begin{aligned} \frac{re F}{re t} & = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{re F}{re Γ} \cdot \dot{Γ} \\ 0 & = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{re}{re Γ} \cdot (F \dot{Γ}) \\ ∴ \frac{re F}{re t} & = - F \frac{re}{re Γ} \cdot \dot{Γ} . \end{aligned}

Luego definen $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{re}{re Γ} \cdot \dot{Γ}$ y derivar el teorema de fluctuación que define la función de disipación como

\begin{aligned} Ω_{t} t & = \int_{0}^{t} Ω (Γ (s)) re s \equiv en El \frac{F (Γ (0), 0)}{F (Γ (t), 0)}] - \int_{0}^{t} Λ (Γ (s)) re s . \end{aligned}

Wikipedia define,

\begin{aligned} Ω_{t} (Γ) = \int_{0}^{t} re s Ω (Γ; s) \equiv en El \frac{F (Γ (0), 0)}{F (Γ (t), 0)}] + \frac{Δ Q (Γ; t)}{k T} . \end{aligned}

¿Qué magia permite este salto? ¿Por qué le falta a Wikipedia el factor de $t$ $t$ $t$ ¿Al frente?

Una cosa que noté es que para sistemas no conservadores

\begin{aligned} {\dot{q}}_{yo} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{yo}} + F_{q} & ; {\dot{pag}}_{yo} = - \frac{\partial H}{\partial q_{yo}} + F_{pag} \end{aligned}

\begin{aligned} Λ (Γ (s)) & = \frac{re}{re Γ} \cdot \dot{Γ} = \sum_{yo} (\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{yo} \partial {pag}_{yo}} - \frac{\partial^{2} H}{\partial {pag}_{yo} \partial q_{yo}} + (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{yo}} + \frac{\partial F_{pag}}{\partial {pag}_{yo}})) = \sum_{yo} (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{yo}} + \frac{\partial F_{pag}}{\partial {pag}_{yo}}) \\ \frac{Δ Q (Γ; t)}{k T} & = - \int_{0}^{t} Λ (Γ (s)) re s = - \sum_{yo} \int_{0}^{t} (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{yo}} + \frac{\partial F_{pag}}{\partial {pag}_{yo}}) . \end{aligned}

Así, para sistemas puramente conservadores. $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{pag} = 0$ ,

\begin{aligned} \frac{PAG r (Ω_{t} = UNA)}{PAG r (Ω_{t} = - UNA)} & = 1 . \end{aligned}

Así que la generación de entropía proviene de los términos de forzamiento o disipación.

honeste_vivere

La compresibilidad del espacio de fase (es decir,

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

re F / re t \neq 0

) en sí implica irreversibilidad, que a menudo se interpreta como producción de entropía (aunque debo señalar que la entropía y la irreversibilidad pueden no ser sinónimos).

aidan.plenert.macdonald

@honeste_vivere Gracias! ¿Cómo calcularía la entropía en este caso? La entropía normal de Boltzmann / Shannon

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int F Iniciar sesión F

Parece que nunca podría estar relacionado con

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) re s

porque

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{re}{re Γ} \cdot \dot{Γ}

no tiene ningún factor de

f

f

F

aidan.plenert.macdonald

Te lo pregunto porque si necesitas computarlo con algún tipo de resumen.

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{yo} sol (q_{yo}, {pag}_{yo})

sobre las partículas (es decir, entropía de partículas, no sobre conjuntos preparados de manera similar distribuidos como

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

F (Γ)

), entonces podría verme posiblemente trabajando en una conexión.

honeste_vivere

Puedes usar algo similar a la teoría de la perturbación y / o la teoría del campo medio donde construyes / asumas

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

F \approx ⟨ F ⟩ + δ F

y luego calcular lo normal

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

F Iniciar sesión F

a primer orden Técnicamente, al imponer / asumir el teorema de disipación de fluctuación, se ha "insertado" irreversibilidad en las ecuaciones. Es una de las consecuencias de la aproximación de la fase aleatoria.

aidan.plenert.macdonald

¿Cómo ayuda esto si no hay

f

f

F

en

Γ

Γ

Γ

? O hace

f

f

F

de alguna manera cancelar para obtener el

Γ

Γ

Γ

solo expresion?

Respuestas (1)

¿Cómo se convierte la entropía en la función de disipación del teorema de fluctuación?

La compresibilidad del espacio de fase (es decir, $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $re F / re t \neq 0$ ) en sí implica irreversibilidad, que a menudo se interpreta como producción de entropía (aunque debo señalar que la entropía y la irreversibilidad pueden no ser sinónimos).
@honeste_vivere Gracias! ¿Cómo calcularía la entropía en este caso? La entropía normal de Boltzmann / Shannon $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int F Iniciar sesión F$ Parece que nunca podría estar relacionado con $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) re s$ porque $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{re}{re Γ} \cdot \dot{Γ}$ no tiene ningún factor de $f$ $f$ $F$
Te lo pregunto porque si necesitas computarlo con algún tipo de resumen. $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{yo} sol (q_{yo}, {pag}_{yo})$ sobre las partículas (es decir, entropía de partículas, no sobre conjuntos preparados de manera similar distribuidos como $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $F (Γ)$ ), entonces podría verme posiblemente trabajando en una conexión.
Puedes usar algo similar a la teoría de la perturbación y / o la teoría del campo medio donde construyes / asumas $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $F \approx ⟨ F ⟩ + δ F$ y luego calcular lo normal $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $F Iniciar sesión F$ a primer orden Técnicamente, al imponer / asumir el teorema de disipación de fluctuación, se ha "insertado" irreversibilidad en las ecuaciones. Es una de las consecuencias de la aproximación de la fase aleatoria.
¿Cómo ayuda esto si no hay $f$ $f$ $F$ en $Γ$ $Γ$ $Γ$ ? O hace $f$ $f$ $F$ de alguna manera cancelar para obtener el $Γ$ $Γ$ $Γ$ solo expresion?

honeste_vivere · Answer 1

Boltzmann, Vlasov y Entropía

La ecuación de Vlasov es la forma sin colisión de la ecuación de Boltzmann . La ecuación de Vlasov se puede escribir como:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial F_{s}}{\partial t} + v \cdot \nabla F_{s} + \frac{F}{{metro}_{s}} \cdot \nabla_{v} F_{s} = 0 \end{matrix}

dónde

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

F_{s} = F_{s} (X, v, t)

Es la función de distribución de la velocidad de las partículas de las especies.

s

s

s

(por ejemplo, maxwelliano ),

F

F

F

Es una fuerza externa, y el componente k ^th de

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

es dado por

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

. Modifiquemos la ecuación 1 usando la fuerza de Lorentz para

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{mi metro}

y linealizándolo , es decir, asumimos

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

, dónde

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

es un conjunto promedio y

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

. A partir de esto, podemos construir una forma promedio y fluctuante de la Ecuación 1. Eliminaré el subíndice

s

s

s

Fuera de la pereza por el resto de la derivación.

La forma media está dada por:

\begin{matrix} (2a) & \frac{\partial ⟨ F ⟩}{\partial t} + v \cdot \nabla ⟨ F ⟩ + \frac{⟨ F_{mi metro} ⟩}{metro} \cdot \nabla_{v} ⟨ F ⟩ = do \end{matrix}

dónde

C

C

do

es un proxy para un término de colisión dado por:

\begin{matrix} (2b) & do = - ⟨ \frac{δ F_{mi metro}}{metro} \cdot \nabla_{v} δ F ⟩ \end{matrix}

La forma fluctuante está dada por:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial}{\partial t} δ F + v \cdot \nabla δ F + ⟨ F_{mi metro} ⟩ \cdot \nabla_{v} δ F + δ F_{mi metro} \cdot \nabla_{v} ⟨ F ⟩ = - δ F_{mi metro} \cdot \nabla_{v} δ F - do \end{matrix}

Hay una distinción importante entre el término de colisión, $C$ $C$ $do$ , y el término clásico de colisión binaria encontrado en la ecuación de Boltzmann. $C$ $C$ $do$ No conserva el impulso local y la densidad de energía de las partículas. Más importante, $C$ $C$ $do$ no hace que el plasma se relaje a un maxwelliano [p. ej., consulte a Tidman y Krall , 1971].

La entropía de Gibbs se puede escribir como:

\begin{matrix} (4) & S = - k_{segundo} \int_{una l l re X re v} re X re v ⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ | \end{matrix}

Gibbs se dio cuenta de que la Ecuación 4 puede divergir hasta el infinito negativo si uno no usa la distribución de probabilidad de una partícula , que es un promedio sobre los estados del conjunto (por lo tanto,

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

's). Una observación interesante es que la ecuación de Liouville también predice que la Ecuación 4 difiere al infinito negativo sin el uso de promedios de conjunto [por ejemplo, Evans y Morriss , 1990]. La razón de la divergencia es que las perturbaciones van a escalas cada vez más pequeñas en el espacio de fase, que requieren formas dimensionales más y más altas de

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

F (X, v, t)

. Una de las consecuencias (¿posiblemente indirectas?) De este salto intuitivo fue el desarrollo de cosas como la teoría del campo medio .

Ecuación de liouville

La primera parte de lo siguiente está adaptada de mi respuesta en https://physics.stackexchange.com/a/177972/59023 .

Lo sabemos $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ F ⟩$ satisface la ecuación de Liouville , o más apropiadamente, $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ F ⟩$ / $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ . En general, la ecuación de movimiento establece:

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial F}{\partial t} = F El (\frac{\partial}{\partial q} \frac{re q}{re t}) + (\frac{\partial}{\partial pag} \frac{re pag}{re t})] + El \frac{re q}{re t} \cdot \frac{\partial F}{\partial q} + \frac{re pag}{re t} \cdot \frac{\partial F}{\partial pag}] \end{matrix}

donde he definido la fase canónica del espacio

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(q, pag)

. Si simplifico los términos

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

re Q / re t

a

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

y deja

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, pag)

, entonces encuentro:

\begin{aligned} (6a) & \frac{\partial F}{\partial t} & = - F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} - \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (6b) & = - \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot (\dot{Γ} F) \end{aligned}

donde se puede ver que la última forma se parece a la ecuación de continuidad. Si defino la derivada de tiempo total como:

\begin{matrix} (7) & \frac{re}{re t} = \frac{\partial}{\partial t} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial}{\partial Γ} \end{matrix}

entonces puedo mostrar que la tasa de tiempo de cambio de la función de distribución viene dada por:

\begin{aligned} (8a) & \frac{re F}{re t} & = \frac{\partial F}{\partial t} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (8b) & = - El F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ}] + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (8c) & = - F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} \\ (8d) & \equiv - F Λ (Γ) \end{aligned}

dónde

Λ (Γ)

Λ (Γ)

Λ (Γ)

se denomina factor de compresión del espacio de fase [p. ej., Evans y Morriss , 1990]. Tenga en cuenta que las ecuaciones 8a a 8d son formas diferentes de la ecuación de Liouville, que se han obtenido sin hacer referencia a las ecuaciones de movimiento y no requieren la existencia de un hamiltoniano . Puedo reescribir la ecuación 8d en la siguiente forma:

\begin{matrix} (9) & \frac{re}{re t} en | F | = - Λ (Γ) \end{matrix}

Si las ecuaciones de movimiento se pueden generar a partir de un hamiltoniano, entonces $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ Incluso en presencia de campos externos que actúan para alejar el sistema del equilibrio. Tenga en cuenta que la existencia de un hamiltoniano es una condición suficiente, pero no necesaria para $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ .

Producción de entropía

Recordemos que hemos definido $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ y sabemos por la ecuación 9 que $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $re / re t en ⟨ F ⟩ = 0$ para sistemas conservadores (es decir, aquellos con espacio de fase incompresible). Si definimos $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ |$ , entonces podemos demostrar que:

\begin{aligned} (10 a) & \frac{\partial F}{\partial t} \equiv \frac{\partial}{\partial t} (⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ |) & = (1 + en | ⟨ F ⟩ |) \frac{\partial ⟨ F ⟩}{\partial t} = 0 \\ (10b) & \frac{\partial F}{\partial t} + \nabla \cdot (v F) & = 0 \\ (10c) & = \frac{re F}{re t} + F (\nabla \cdot v) \\ (10d) & 0 + \nabla \cdot (v F) & = ⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ | (\nabla \cdot v) + (1 + en | ⟨ F ⟩ |) El v \cdot \nabla ⟨ F ⟩] \end{aligned}

Usando estas relaciones, uno puede mostrar que:

\begin{aligned} (11a) & (\nabla \cdot v) F & = - v \cdot \nabla F \\ (11b) & (\nabla \cdot v) (⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ |) & = - v \cdot \nabla (⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ |) \\ (11c) & = - ⟨ F ⟩ v \cdot \nabla en | ⟨ F ⟩ | - en | ⟨ F ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ F ⟩ \\ (11d) & = - v \cdot \nabla ⟨ F ⟩ - en | ⟨ F ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ F ⟩ \\ (11e) & = - (1 + en | ⟨ F ⟩ |) v \cdot \nabla ⟨ F ⟩ \end{aligned}

También sabemos que en el límite de $x \to \pm \infty$ $x \to \pm \infty$ $X \to \pm \infty$ , el termino $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{mi metro} ⟩ \to 0$ porque asumimos que todos los gradientes se aproximan asintóticamente a cero en este límite y la $C$ $C$ $do$ - El término también va a cero. Por lo tanto, encontramos que la Ecuación 2a opera en la cantidad:

\begin{matrix} (12) & \int re v (1 + en | ⟨ F ⟩ |) \end{matrix}

resultados en lo siguiente:

\begin{aligned} (13a) & El \frac{\partial}{\partial t} + v \cdot \nabla + ⟨ F_{mi metro} ⟩ \cdot \nabla_{v}] \int re v (1 + en | ⟨ F ⟩ |) & = \int re v do (1 + en | ⟨ F ⟩ |) \\ (13b) & El v \cdot \nabla] \int re v (1 + en | ⟨ F ⟩ |) & = \int re v do (1 + en | ⟨ F ⟩ |) \\ (13c) & \nabla \cdot \int re v v ⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ | & = \int re v do (1 + en | ⟨ F ⟩ |) \end{aligned}

Ahora insertamos el formulario para

C

C

do

de la ecuación 2b para encontrar:

\begin{matrix} (14) & \nabla \cdot \int re v v ⟨ F ⟩ en | ⟨ F ⟩ | = \frac{mi}{metro} \int re v ⟨ δ F_{mi metro} δ F ⟩ \cdot \nabla_{v} en | ⟨ F ⟩ | \end{matrix}

donde el término en el lado izquierdo es la divergencia del flujo de entropía .

La ecuación 14 es un ejemplo de cómo se puede producir la entropía en un medio sin colisiones con espacio de fase incompresible, que surge de la dependencia del tiempo en $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ F ⟩$ introducido por las fluctuaciones no cero dadas por el $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{mi metro} δ F ⟩$ -término. Asi que aunque $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ F ⟩$ se conserva a lo largo de las trayectorias de fase de la ecuación de Liouville incompresible, desarrolla características cada vez más finas correspondientes a la mezcla de fase. La introducción de la irreversibilidad (es decir, también la entropía aquí) en este sistema es en gran medida un resultado del enfoque, que es análogo al procedimiento de granulación general utilizado para derivar la ecuación de Boltzmann de la ecuación reversible de Liouville [por ejemplo, Evans y Morriss , 1990 ; Tidman y Krall , 1971].

Se puede utilizar un enfoque similar si no asumimos $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $re / re t en ⟨ F ⟩ = 0$ Derivar una forma de entropía.

Referencias

Evans, DJ y G. Morriss. Estadística estadística de líquidos no equilibrados, 1ª edición , Academic Press, Londres, 1990.
Tidman, DA y NA Krall Ondas de choque en plasmas sin colisión , Wiley Series en Plasma Physics, Nueva York: Wiley-Interscience, 1971.

Respuesta impresionante! Me llevará un tiempo pasarlo en detalle. Gracias por las referencias también

¿Cómo se convierte la entropía en la función de disipación del teorema de fluctuación?

aidan.plenert.macdonald

honeste_vivere

aidan.plenert.macdonald

aidan.plenert.macdonald

honeste_vivere

aidan.plenert.macdonald

Respuestas (1)

honeste_vivere

Boltzmann, Vlasov y Entropía

Ecuación de liouville

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Referencias

aidan.plenert.macdonald

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