Variación de la acción modificada de Einstein Hilbert

En general, la relatividad puede derivar las ecuaciones de campo de Einstein por el principio de menor acción a través de variaciones con respecto al inverso del tensor métrico. En algunas teorías de la gravedad modificadas, como la Teoría de Brans-Dicke, se agrega un campo escalar a la Acción de Einstein Hilbert y la constante gravitacional se reemplaza por una función del campo escalar. No estoy muy seguro de cómo derivar las ecuaciones de campo de esta acción, más específicamente la parte donde el campo escalar está unido al escalar Ricci ϕ R ϕ R .

La acción de Brans-Dicke es

S B D = ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ 1 16 π ( ϕ R - ω ϕ sol a b ∂ una ϕ ∂ si ϕ ) + L METRO ] S si re = ∫ re 4 4 X - sol [ 1 dieciséis π ( ϕ R - ω ϕ sol una si ∂ una ϕ ∂ si ϕ ) + L METRO ] .

La ecuación de campo resultante es

sol a b = 8 π ϕ T a b + ω ϕ 2 ( ∂ una ϕ ∂ si ϕ - 1 2 sol a b ∂ C ϕ ∂ C ϕ ) + 1 ϕ ( ∇ una ∇ si ϕ - g a b □ ϕ ) . sol una si = 8 π ϕ T una si + ω ϕ 2 ( ∂ una ϕ ∂ si ϕ - 1 2 sol una si ∂ C ϕ ∂ C ϕ ) + 1 ϕ ( ∇ una ∇ si ϕ - sol una si ◻ ϕ ) .

También quiero derivar una nueva ecuación de campo para practicar. Entonces mis preguntas son:

  1. ¿Cómo se derivan las ecuaciones de movimiento?

  2. ¿Cómo realizar la variación de la siguiente acción?

    S = ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ 1 16 π sol R - ϕ ( ∇ μ sol a b ∇ ν sol a b ) - 2 Λ + L METRO ) ] S = ∫ re 4 4 X - sol [ 1 dieciséis π sol R - ϕ ( ∇ μ sol una si ∇ ν sol una si ) - 2 Λ + L METRO ) ]

El escalar de Ricci, la constante cosmológica y la materia lagrangiana variarán simplemente como la acción de Einstein Hilbert para:

δ S = ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ 1 κ ( R a b - 1 2 R g a b + Λ g a b ) - T a b ] δ sol a b . δ S = ∫ re 4 4 X - sol [ 1 κ ( R una si - 1 2 R sol una si + Λ sol una si ) - T una si ] δ sol una si .
¿Qué pasa con el término extra? ¿Podría uno simplemente variar con respecto a ϕ ϕ , ¿o también se requiere la variación de la derivada covariante del tensor métrico? Si esto último es cierto, entonces la variación de este término adicional sería
∂ L ∂ sol a b - ∂ μ ∂ L ∂ ( ∇ μ sol a b ) = 0. ∂ L ∂ sol una si - ∂ μ ∂ L ∂ ( ∇ μ sol una si ) = 0.
Cualquier ayuda sería apreciada. Por cierto, es ∇ μ sol a b ∇ ν sol a b ∇ μ sol una si ∇ ν sol una si Una expresión que muestra la tasa de cambio (derivada) del tensor métrico con respecto a una coordenada ( t , x , y z ) ( t , X , y , z ) ?

Por lo general, sin torsión, eliges la conexión (única) como ∇ μ sol a b = 0 ∇ μ sol una si = 0 0 , mira esta pregunta de PSE
La intuición básica que sustenta la teoría de Brans-Dicke debería ser "¿Qué pasa si reemplazamos la constante de Newton? sol sol por un campo escalar ϕ ϕ ? (O, dependiendo de tu religión, ϕ - 1 ϕ - 1 ?) "... todo lo demás se deduce de eso.
Incluso con la torsión todavía obtienes ∇ μ sol a b = 0 ∇ μ sol una si = 0 0 . También necesitaría el tensor de no metricidad para convertirlo en otra cosa, que apenas se usa.

Respuestas (1)

Encuentra la respuesta a la pregunta 1 a continuación. La pregunta 2. es extraña ya que ∇ μ sol α β = 0 ∇ μ sol α β = 0 0 (cuando la conexión es métrica compatible) como lo menciona @Trimok. En cualquier caso, la variación de la acción se puede derivar utilizando el método descrito a continuación.

Comenzamos con la acción BD

S = 1 16 π ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ ϕ R - ω ϕ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + S METRO S = 1 dieciséis π ∫ re 4 4 X - sol [ ϕ R - ω ϕ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + S METRO
dónde S METRO S METRO Es el asunto de la acción. Para determinar las ecuaciones de campo de Einstein, variamos la acción wrt a la métrica. Usaremos las fórmulas (ref. Wikipedia )
δ R = R μ ν δ sol μ ν + ∇ σ ( g μ ν δ Γ σ μ ν - g μ σ δ Γ ρ ρ μ ) δ R = R μ ν δ sol μ ν + ∇ σ ( sol μ ν δ Γ μ ν σ - sol μ σ δ Γ ρ μ ρ )
La variación del tensor de Christoffel es
δ Γ λ μ ν = δ sol λ ρ sol ρ α Γ α μ ν + 1 2 sol λ ρ ( ∂ μ δ sol ν ρ + ∂ ν δ sol μ ρ - ∂ ρ δ sol μ ν ) = 1 2 sol λ ρ ( ∇ μ δ sol ν ρ + ∇ ν δ sol μ ρ - ∇ ρ δ sol μ ν ) = - 1 2 ( g ν α ∇ μ δ sol α λ + g μ α ∇ ν δ sol α λ - g μ α sol ν β ∇ λ δ sol α β ) δ Γ μ ν λ = δ sol λ ρ sol ρ α Γ μ ν α + 1 2 sol λ ρ ( ∂ μ δ sol ν ρ + ∂ ν δ sol μ ρ - ∂ ρ δ sol μ ν ) = 1 2 sol λ ρ ( ∇ μ δ sol ν ρ + ∇ ν δ sol μ ρ - ∇ ρ δ sol μ ν ) = - 1 2 ( sol ν α ∇ μ δ sol α λ + sol μ α ∇ ν δ sol α λ - sol μ α sol ν β ∇ λ δ sol α β )
donde usamos δ sol μ ν = - g μ α sol ν β δ sol α β δ sol μ ν = - sol μ α sol ν β δ sol α β . Esto implica
sol μ ν δ Γ σ μ ν sol μ σ δ Γ λ λ μ = - ∇ α δ sol α σ + 1 2 sol α β ∇ σ δ sol α β = - 1 2 sol α β ∇ σ δ sol α β sol μ ν δ Γ μ ν σ = - ∇ α δ sol α σ + 1 2 sol α β ∇ σ δ sol α β sol μ σ δ Γ λ μ λ = - 1 2 sol α β ∇ σ δ sol α β
lo que implica
δ R = R μ ν δ sol μ ν - ∇ μ ∇ ν δ sol μ ν + g μ ν ∇ 2 δ sol μ ν δ R = R μ ν δ sol μ ν - ∇ μ ∇ ν δ sol μ ν + sol μ ν ∇ 2 δ sol μ ν
Finalmente, a partir de 1 , también tenemos
δ - g - - - √ = - 1 2 - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν δ - sol = - 1 2 - sol sol μ ν δ sol μ ν
Finalmente, estamos listos para calcular la variación de la acción. Tenemos
δ S = 1 16 π ∫ re 4 4 x δ - g - - - √ [ ϕ R - ω ϕ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]              + 1 16 π ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ ϕ δ R - ω ϕ δ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + δ S METRO = - 1 32 π ∫ re 4 4 x - g - - - √ sol μ ν [ ϕ R - ω ϕ sol α β ∂ α ϕ ∂ β ϕ ] δ sol μ ν + ∫ re 4 4 x δ S METRO δ sol μ ν δ sol μ ν              + 1 16 π ∫ re 4 4 x - g - - - √ [ ( ϕ R μ ν - ∇ μ ∇ ν ϕ + g μ ν ∇ 2 ϕ ) - ω ϕ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] δ sol μ ν δ S = 1 dieciséis π ∫ re 4 4 X δ - sol [ ϕ R - ω ϕ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + 1 dieciséis π ∫ re 4 4 X - sol [ ϕ δ R - ω ϕ δ sol μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] + δ S METRO = - 1 32 π ∫ re 4 4 X - sol sol μ ν [ ϕ R - ω ϕ sol α β ∂ α ϕ ∂ β ϕ ] δ sol μ ν + ∫ re 4 4 X δ S METRO δ sol μ ν δ sol μ ν + 1 dieciséis π ∫ re 4 4 X - sol [ ( ϕ R μ ν - ∇ μ ∇ ν ϕ + sol μ ν ∇ 2 ϕ ) - ω ϕ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ] δ sol μ ν
Requerir que la variación de la acción desaparezca (al orden principal en δ sol μ ν δ sol μ ν ) da
sol μ ν = - 16 π ϕ - g - - - √ δ S METRO δ sol μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 sol μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - g μ ν ∇ 2 ϕ ] sol μ ν = - dieciséis π ϕ - sol δ S METRO δ sol μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 sol μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - sol μ ν ∇ 2 ϕ ]
Recordemos que el tensor de estrés se define como
T μ ν = - 2 - g - - - √ δ S METRO δ sol μ ν T μ ν = - 2 - sol δ S METRO δ sol μ ν
Así
sol μ ν = 8 π ϕ T μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 sol μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - g μ ν ∇ 2 ϕ ] sol μ ν = 8 π ϕ T μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 sol μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - sol μ ν ∇ 2 ϕ ]
que es la ecuación de Brans-Dicke.

Ya veo cómo hacerlo ahora. Con respecto a mi segunda pregunta, ¿el término adicional simplemente se convierte en cero ya que la derivada covariante del tensor métrico es cero? Entonces, ¿la acción ahora se convierte en la conocida acción de Einstein-Hilbert?
Eso es correcto.
Como se prueba δ - g - - - √ = - 1 2 - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν δ - sol = - 1 2 - sol sol μ ν δ sol μ ν ? No puedo seguir la entrada de wikipedia ...
δ - g - - - √ = - 1 2 - g - - - √ δ sol = - 1 2 - g - - - √ sol sol μ ν δ sol μ ν = - 1 2 - g - - - √ - g - - - √ - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν = - 1 2 - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν ≠ 1 2 - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν δ - sol = - 1 2 - sol δ sol = - 1 2 - sol sol sol μ ν δ sol μ ν = - 1 2 - sol - sol - sol sol μ ν δ sol μ ν = - 1 2 - sol sol μ ν δ sol μ ν ≠ 1 2 - sol sol μ ν δ sol μ ν
¿Qué pasa con el signo de error?
@BreakingM_a_t Tenga en cuenta que, por definición δ sol = det ( g + δ sol ) - det g = det g   [ det ( 1 + g - 1 δ sol ) - 1   ] δ sol = det ( sol + δ sol ) - det sol = det sol [ det ( 1 + sol - 1 δ sol ) - 1 ] . Ahora, para calcular det ( 1 + g - 1 δ sol ) det ( 1 + sol - 1 δ sol ) al orden principal en δ sol δ sol , usamos la identidad Iniciar sesión det M = tr log METRO Iniciar sesión ⁡ det METRO = tr Iniciar sesión ⁡ METRO . Entonces nosotros tenemos det ( 1 + M ) = exp Iniciar sesión det ( 1 + M ) = exp tr log ( 1 + M ) = exp [ tr ( M + O ( M 2 ) ) ] = exp ( tr M ) + O ( M 2 ) = 1 + tr M + O ( M 2 ) det ( 1 + METRO ) = Exp ⁡ Iniciar sesión ⁡ det ( 1 + METRO ) = Exp ⁡ tr Iniciar sesión ⁡ ( 1 + METRO ) = Exp ⁡ [ tr ( METRO + O ( METRO 2 ) ) ] = Exp ⁡ ( tr METRO ) + O ( METRO 2 ) = 1 + tr METRO + O ( METRO 2 ) .
@BreakingM_a_t Esto implica δ sol = det g tr ( g - 1 δ sol ) = det g sol μ ν δ sol μ ν δ sol = det sol tr ( sol - 1 δ sol ) = det sol sol μ ν δ sol μ ν . Por lo tanto, encontramos que δ - g - - - √ = - 1 2 - g √ δ sol = - 1 2 - g √ sol sol μ ν δ sol μ ν = 1 2 - g - - - √ sol μ ν δ sol μ ν δ - sol = - 1 2 - sol δ sol = - 1 2 - sol sol sol μ ν δ sol μ ν = 1 2 - sol sol μ ν δ sol μ ν .
Variación de la acción modificada de Einstein Hilbert
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