Energía lagrangiana, cinética y potencial con dos masas conectadas a tres resortes [cerrado]

Question

Energía lagrangiana, cinética y potencial con dos masas conectadas a tres resortes [cerrado]

Física
Primavera
Mecanica-clasica
Tarea-y-ejercicios
Osciladores-acoplados
Formalismo-lagrangiano

Qmechanic

Dos masas $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ${metro}_{1}$ y $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ ${metro}_{2}$ están en una superficie sin fricción. Están conectados por tres resortes con constantes. $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ . $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ y $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ están unidos a las paredes y $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ Está entre las masas. $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ está a la izquierda entonces $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ y $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ a la derecha. Los puntos de equilibrio para las masas son $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $X_{1}$ y $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $X_{2}$ .

¿Cuál es la energía cinética total?
¿Cuál es la energía potencial total?
Construye el lagrangiano.

¿La energía cinética sería cero? Tengo potencial en $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ${metro}_{1}$ como

U = - k_{1} X_{1} + k_{2} (X_{1} - X_{2})

y el potencial en

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

{metro}_{2}

como

U = - k_{2} (X_{1} - X_{2}) + k_{3} X_{2}

Siento que no estoy configurando esta ecuación correctamente.

Respuestas (1)

Energía lagrangiana, cinética y potencial con dos masas conectadas a tres resortes [cerrado]

sahin · Answer 1

A continuación se muestra una figura simple del sistema en cuestión.

sistema físico en la pregunta

Al escribir la energía cinética, usamos las velocidades de las partículas. En particular, cuadramos las velocidades. Y la velocidad no es más que la derivada del desplazamiento. Aquí tenemos dos partículas donde mostramos sus desplazamientos por $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $X_{1}$ y $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $X_{2}$ . Eso significa que la energía cinética para la primera partícula es

T_{1} = \frac{1}{2} {metro}_{1} {\dot{X}}_{1}^{2},

donde el punto en la parte superior de $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $X_{1}$ denota una derivada del tiempo, es decir; ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{X}}_{1} = \frac{re X_{1}}{re t}$ . De manera similar, la energía cinética de la segunda partícula es

T_{2} = \frac{1}{2} {metro}_{2} {\dot{X}}_{2}^{2} .

Por lo tanto, la energía cinética total del sistema es

T = T_{1} + T_{2} = \frac{1}{2} {metro}_{1} {\dot{X}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} {metro}_{2} {\dot{X}}_{2}^{2} .

Suponiendo que no haya otro potencial externo para el sistema, la energía potencial del sistema será igual a la energía potencial almacenada en los resortes. Para cualquier primavera conocemos la ley de Hooke: $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k X$ . Es decir; para comprimir o extender un resorte a cierta distancia $x$ $x$ $X$ , necesita una fuerza $F$ $F$ $F$ que es proporcional a algo llamado "constante de resorte" y se muestra por $k$ $k$ $k$ .

La energía potencial para cualquier sistema se encuentra en $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot re \vec{r}$ integral. Para la fuerza del resorte tenemos

U = - \int (- k X) re X = \frac{1}{2} k X^{2},

donde se ignoran las constantes de integración.

Ahora tenemos todas las herramientas para resolver el problema. Primero veamos el resorte a la izquierda que tiene la constante del resorte $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ . El lado izquierdo de este resorte está unido a la pared y el lado derecho está unido a la masa $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ${metro}_{1}$ . Y masa $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ${metro}_{1}$ es libre de moverse (recuerde que le asignamos una coordenada). Por lo tanto, este resorte tiene el potencial de extenderse o comprimirse en una cantidad de $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $X_{1}$ siempre que la masa $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ${metro}_{1}$ se mueve Por lo tanto, la energía potencial de esta primavera es

U_{1} = \frac{1}{2} k_{1} X_{1}^{2} .

Del mismo modo, el resorte más a la derecha tiene la energía potencial

U_{3} = \frac{1}{2} k_{3} X_{2}^{2} .

Y finalmente para la primavera en el medio tenemos un desplazamiento que depende de ambas coordenadas. $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $X_{1}$ y $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $X_{2}$ . En este caso, la energía potencial se escribe como

U_{2} = \frac{1}{2} k_{2} (X_{2} - X_{1})^{2} .

Entonces, la energía potencial total del sistema es

U = U_{1} + U_{2} + U_{3} = \frac{1}{2} k_{1} X_{1}^{2} + \frac{1}{2} k_{3} X_{2}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} (X_{2} - X_{1})^{2} .

Lagrangiana de un sistema viene dada por $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ . Por lo tanto para nuestro sistema

L = \frac{1}{2} {metro}_{1} {\dot{X}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} {metro}_{2} {\dot{X}}_{2}^{2} - \frac{1}{2} k_{1} X_{1}^{2} - \frac{1}{2} k_{3} X_{2}^{2} - \frac{1}{2} k_{2} (X_{2} - X_{1})^{2} .

NOTA: Uno puede considerar las longitudes naturales de los resortes al hacer este tipo de cálculos. Pero, los términos constantes en energías potenciales no tienen importancia en física. Por lo tanto, ignorarlos la mayor parte del tiempo ahorra tiempo y simplifica los cálculos. A lo largo de mi respuesta no tuve en cuenta estas longitudes para mayor claridad.

Para el registro, publicar respuestas a preguntas de tarea subyacentes como esta va en contra de nuestra política de tareas , pero ha pasado mucho tiempo desde que esto se publicó, por lo que no haré nada al respecto.

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sahin

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