Momento de inercia del cilindro macizo

quiero calcular el momento de inercia de un cilindro macizo de radio r , longitud yo y masa METRO sobre un eje que pasa por el centro del cilindro.

Mi enfoque fue alinear el eje central del cilindro con el X -eje y considere un pequeño elemento cilíndrico de espesor d X . Entonces mi elemento de masa sería d metro = ρ π r 2 d X , dónde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).

Usando la fórmula para el momento de inercia e integrando de 0 a yo , luego encuentro que la respuesta es METRO r 2 . Ahora que está mal, debería haber un factor de 1 2 ahí. Pero no entiendo por qué. Algunas soluciones que he visto en línea consideran discos concéntricos, pero no entiendo por qué este método no funciona.

¿Qué eje has considerado?
@ATHARVA eje a través del centro
pero es a través del plano circular (desde los centros de dos superficies planas del círculo)
@ATHARVA Oh, sí lo es

Respuestas (3)

El d metro has calculado es incorrecto. El radio variará. Que has asumido constante. Entonces ,

( https://i.stack.imgur.com/f4VjF.png ) [r1=x es la distancia de cada elemento desde el eje]

d metro = ρ 2 π X d X yo
.

ρ = METRO π R 2 yo

d I = ( d metro ) X 2

Entonces,

I = ∫ 0 R 2 METRO R 2 X 3

I = METRO R 2 2

¿Por qué varía el radio? ¿No es el radio el mismo en todas partes a lo largo de un cilindro? oO
El elemento de masa no tiene radio fijo. Dependerá de qué tan lejos esté ese elemento de masa del eje. Y esa x variará de 0 a r, que son sus límites inferior y superior para la integración
¿Funcionaría este argumento para un cilindro hueco?
No, para un cilindro hueco que no puede hacer con el método anterior. Eso sería diferente allí, la distancia de cada elemento es la misma.
He agregado una imagen y verifíquela. Vea cómo r es diferente para cada elemento
@ATHARVA, ¡ese es EL método MÁS elegante y directo para obtener el momento de inercia de un cilindro que he visto! ¡Bravo!

La definición de momento de inercia se define como ∭ V r 2 ρ d V . Donde r es la distancia entre el eje de rotación y el volumen dV.

En el caso de un cilindro esta integral será:

ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 2 . r d r ∫ 0 h d z

Tu respuesta es incorrecta porque amenazaste con r como si fuera una constante, supongo.

Lo siento, no he encontrado esta definición. yo suelo ∫ r 2 d metro por momento de inercia.

Creo que tienes dificultades para conceptualizar tu d metro , lo cual está bien porque no es fácil al principio. Considerar d metro como un poquito de materia en su cilindro. Un poco comprendido entre el radio r y r + d r , z y z + d z y θ y θ + d θ , donde todos los d X son un incremento infinitesimal.

La integral significa que tomas la contribución. r 2 d metro de cada uno de estos diminutos fragmentos de materia al momento total de inercia. La posición (el valor de r ) de su elemento en un cilindro varía desde el radio interior hasta el radio exterior. Si su cilindro no es hueco, esto significa que su radio interior es cero. Por lo tanto, si nos enfocamos solo en la dependencia r de la integral, obtenemos ∫ 0 R r 3 d r = 1 4 R 4 .

El 2 π factor de integración de la parte angular, y la definición de la densidad como la masa total dividida por el volumen total (para un cilindro homogéneo) le dará la 1 2 R 2 resultado final (nuevamente, centrándonos solo en la parte radial del resultado)

Momento de inercia del cilindro macizo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v