Ecuación de Euler-Lagrange y momento de inercia

Una de las suposiciones implícitas que utiliza la pregunta es que la masa del sólido es constante y que la densidad del sólido es constante. Si la masa no es constante, puede establecerla en cero. Si la densidad no fuera constante, de hecho podría aplastar la masa en un eje delgado de densidad infinita, ¡pero eso no sería característico de muchos sólidos!

Medios de masa constante

$$\int_0^h \rho \pi r^2 \, \mathrm{d}z = M = \text{const.}$$

o, de manera equivalente, como una ecuación de restricción

$$G(r) = \int_0^h \rho \pi r^2 - \frac{M}{h} \, \mathrm{d}z = 0$$

(La densidad constante es más fácil de aplicar: simplemente deje que la variable$\rho$ser constante)

Por lo tanto, el problema ahora es:

Minimizar$I(r) = \int_0^h \frac{1}{2}\rho \pi r^4 \, \mathrm{d}z$tal que$G(r) = \int_0^h \rho \pi r^2 - \frac{M}{h} \, \mathrm{d}z = 0$

Es decir, ahora tiene un problema variacional restringido, que requiere el uso de un multiplicador lagrangiano $\lambda$. Entonces la función de costo es en cambio

$$J(r,\lambda) = I(r) + \lambda G(r) = \int_0^h \frac{1}{2} \rho \pi r^4 + \lambda \left(\rho \pi r^2 - \frac{M}{h}\right) \, \mathrm{d}z = \int_0^h F(r,\lambda) \, \mathrm{d}z$$

El multiplicador lagrangiano$\lambda$ahora se comporta como una variable de suma para minimizar sobre, por lo que la solución se obtiene evaluando

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{\partial F}{\partial r'}\right) - \frac{\partial F}{\partial r} = 0$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{\partial F}{\partial \lambda'}\right) - \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$

donde la notación prima denota diferenciación con respecto a$z$. (Desde que no$r'$o$\lambda'$términos están presentes, los primeros términos de las ecuaciones anteriores son iguales a cero).

Resolver esto dará como resultado el cilindro como el sólido óptimo.