¿Cambia el momento de inercia?

Actualmente estoy trabajando en un problema de práctica para mi próximo examen y tengo dificultades para entender el momento de inercia.

si la pelota tiene masa$m$y está dando vueltas en un círculo con velocidad$v_0$entonces puedo determinar su momento angular.

$\vec{L}=m(r_0\times v_0)$

Ahora supongamos que alguien tira de la cuerda hasta que la pelota da la vuelta al círculo con un radio$\frac{r_0}{2}$. ¿Cuál es su nueva velocidad?

Supuse que el momento angular se conserva (no estoy seguro de esto).

$\implies \vec{L_1}=\vec{L_2} \iff m(r_0\times v_0)=m(\frac{r_0}{2}\times v_1)$

$\iff r_0\times v_0=\frac{r_0}{2}\times v_1 \iff |r_0||v_0|\sin(\alpha)=|\frac{r_0}{2}||v_1|\sin(\alpha)$

También asumí que el ángulo entre cualquier$r$y$v$no cambiaría (tampoco estoy seguro de eso)

$\implies v_1=2v_0$

Esto significaría que la mitad del radio implica el doble de la velocidad. Estoy un poco desconcertado por esto porque$v=\omega r$me dice que la velocidad debe ser la mitad de la velocidad original a menos que$\omega$ha cambiado. Esto me lleva de vuelta al momento de inercia. ¿Cambió el momento de inercia cuando la pelota pasó de$r_0$a$\frac{r_0}{2}$? Esto explicaría el cambio en la velocidad angular ya que$\vec{L}=I\cdot \vec{\omega}$.