Momento angular orbital como suma de osciladores armónicos

Ach, sí y no, pero... este es el resumen más pesado de la construcción clásica del mapa Jordan de generadores de matriz SU(2) que existe.

La mayor parte de la dificultad y la confusión radica aquí en el cambio de bases, que fomenta la abstracción desbocada de la notación. Los espacios nocionales de los dos osciladores no son el espacio-tiempo indexado por los generadores de rotaciones, por lo que nuestro día a día$\theta, \phi$ángulos espaciales! Están oscilando en espacios auxiliares similares a los de los osciladores QFT, ¡ igualmente desconectados de nuestro espacio-tiempo!

Ilustraré todo esto con un ejemplo específico: veamos el$\ell =2$, girar dos representación que consta de los tres$2\ell +1=5$-matrices dimensionales, 5×5, satisfactorias$[L^j,L^k]= i \epsilon^{jkr}L^r$, donde he adimensionalizado$\hbar$por cordura

En el espacio de Fock, la vida es simple: el giro dos no es más que la suma simétrica de cuatro giros-1/2, dos$a_1$y dos$a_2$osciladores, por lo que$n_1=2, ~ n_2=2$. El bloque de construcción de las matrices de 5 × 5 es la imagen de las tres matrices de Pauli de 2 × 2 en este mapa,

$${\vec L} \equiv {\mathbf a}^\dagger \cdot\frac{ {\vec \sigma } } {2} \cdot {\mathbf a}^{\,} ~,$$ para dos vectores${\mathbf a},{ \mathbf a}^\dagger$, el punto de partida del tratamiento de Schwinger de 1952 de la teoría del momento angular cuántico, basado en la acción de estos operadores en estados de Fock construidos con potencias superiores arbitrarias de dichos operadores.

Aquí los dos osciladores son tensor-cuadrados a

$$L^2\equiv {\vec L} \cdot {\vec L} = \frac{n_1+n_2}{2} \left ( \frac{n_1+n_2}{2}+1\right )I_5~,$$ el valor propio aquí es 6, como se esperaba para el giro 2, por supuesto.

Por ejemplo, actuando sobre un estado propio de Fock (no normalizado), recordando$L_+=a_1^\dagger a_2$y$L_-=a_2^\dagger a_1$, observar

$$L^2~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle= \frac{k+n}{2} \left ( \frac{k+n}{2}+1\right ) ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle ~,$$ mientras $$L_z ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle= \frac{1}{2} \left ( k-n\right ) ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle ~,$$ para que, por$l=(k+n)/2$,$m= (k−n)/2$, esto es proporcional al estado propio$|l,m\rangle$,
$$|l,m\rangle= \frac{a_1^{\dagger ~(l+m)} a_2^{\dagger ~ (l-m)} }{\sqrt{(l+m)!~(l-m)!}}|0\rangle~ .$$

En nuestro ejemplo,$l=2$, entonces

$$|2,m\rangle= \frac{a_1^{\dagger ~2+m} a_2^{\dagger ~ 2-m} }{\sqrt{(2+m)!~(2-m)!}}|0\rangle~ .$$

Ahora recuerde la conexión de las bases estándar a dos espacios unidimensionales disjuntos (!)

$$\langle x_j|a_i^{\dagger ~~n}|0\rangle = \delta_{ij}\psi_n^{(i)}(x_i),$$ donde el$\psi_n (x)$son las funciones de Hermite relacionadas con los polinomios de Hermite de la manera habitual, n indica el índice de excitación de energía, y (i) etiqueta el oscilador 1,2, de donde provienen, pero ahora son las mismas funciones. Entonces, por ejemplo, toma m=2 , $$(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |) |2,2\rangle= \psi_4 (x_1)\psi_0(x_2),$$ etc.

Así mismo, ver aquí

$$\langle \theta,\phi| l,m\rangle= Y_l^m(\theta, \phi),$$ con esta forma explícita , por lo demás

Considerar$Y_2^2(\theta,\phi)= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2\pi} } \sin^2\theta ~ e^{2i\phi}$. Esta es una función con argumentos en la esfera celeste, por así decirlo, y que tiene poco que ver con los dos espacios nocionales en los que viven las funciones de Hermite de los dos osciladores de Schwinger.

• De hecho, las dos realizaciones muy diferentes describen los mismos estados y las mismas matrices de 5×5 (en nuestra ilustración), mediante el empleo de movimientos en dos variedades muy diferentes; pero estos difícilmente inducen una conexión natural entre los polinomios de Legendre asociados y los polinomios de Hermite (y, por lo tanto, las funciones, arriba).

NÓTESE BIEN. Aún así, hay una conexión importante entre los polinomios de Laguerre y Hermite, pero esa es otra construcción... espacio de fase, donde las funciones de Laguerres de Wigner son bilineales de las funciones de onda de Hermites. Totalmente supera tu enfoque aquí.

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Nota en respuesta al comentario de @ytlu

La revisión/deconstrucción anterior estaba destinada a resaltar la tenue conexión entre los polinomios de Hermite y los armónicos esféricos. Los cinco estados que mapeé arriba, ($y\equiv \cos\theta$),

$$Y^2_2 \sim e^{i2\phi} P_2^2 (y) \leftrightarrow \psi_4(x_1)\psi_0(x_2), \\ Y^1_2 \sim e^{i\phi} P_2^1 (y) \leftrightarrow \psi_3(x_1)\psi_1(x_2), \\ Y^0_2 \sim P_2^0 (y) \leftrightarrow \psi_2(x_1)\psi_2(x_2), \\ ...,$$ de hecho proporcionan realizaciones equivalentes, en dos variables, de la misma matriz de derivadas.

Proporciono las cantidades no triviales con medida plana,$\int dx ~\psi_n(x) \psi_k(x)=\delta_{nk}$(¡no polinomios!), y$\int dy ~P_l^m(y)~ P_k^m(y)\propto \delta_{lk}$, para comparar manzanas con manzanas: por lo que proporcionan un diccionario de correspondencia evidente, con reglas de correspondencia evidentes. Pero no creo que ese fuera el cambio de variables en el cielo que pedía el OP.