Momento angular de un objeto rígido y extendido: Cuando vemos un objeto rotando, ¿el estado de rotación es totalmente relativo?

Entonces, cuando vemos un objeto girando, su estado de rotación es totalmente relativo, como sucede con muchas otras cantidades físicas... ¿Es así?

El estado de rotación no es$totally$relativo; por ejemplo, la velocidad angular de rotación es la misma para todos los puntos de referencia. Es cierto que puedes usar diferentes puntos de referencia para la rotación desde el centro de masa, y algunas veces esto es útil, especialmente si ese punto se mueve con velocidad constante. Pero a menudo es el centro de masa el que se mueve con velocidad constante, de ahí que se diga

A menudo se dice que un objeto que ha sido lanzado al aire y está girando, está girando físicamente alrededor del centro de masa.

porque en el marco de referencia inercial, solo el centro de masa puede verse como no giratorio.

1. El momento angular es una cantidad intrínseca en el centro de masa$\vec{H}_C = \bar{I}_C \vec\omega$, dónde$\bar{I}_C$es el tensor de inercia 3×3 en el centro de masa C .

2. El momento angular medido en cualquier otro punto debe incluir el efecto del momento lineal$\vec{L}$también.$\vec{H}_A = \vec{H}_C + \vec{r}_{AC} \times \vec{L} = \bar{I}_C \vec\omega + \vec{r}_{AC} \times m \vec{v}_C$.

3. Por ejemplo, si fijamos la rotación sobre el punto A con$\vec{v}_C = \vec{\omega}\times \vec{r}_{AC}$entonces el momento angular con respecto a A es$\vec{H}_A = \bar{I}_C \vec\omega + \vec{r}_{AC} \times m \left(\vec{\omega}\times \vec{r}_{AC} \right)$que se conoce como el teorema del eje paralelo cuando se escribe como

   $$\vec{H}_A = \bar{I}_A \vec{\omega} = \left( \bar{I}_C - m \vec{r}_{AC} \times \vec{r}_{AC} \times \right) \vec{\omega}$$ Consulte mi respuesta a una pregunta relacionada para obtener más detalles.

4. El estado libre de un cuerpo rígido es una rotación + traslación paralela del centro de masa (también conocido como movimiento de tornillo), pero incluso un cuerpo rígido cargado seguirá experimentando un movimiento de tornillo, solo alrededor de un eje diferente. La elección del centro de masa no es de conveniencia, sino natural, que surge de las ecuaciones de movimiento. De hecho, existe una relación geométrica entre el eje de una fuerza y ​​el eje de rotación resultante descubierta por Sir Robert Stawell Ball llamada teoría del tornillo.

5. Aquí hay algunas afirmaciones sobre el movimiento de un cuerpo rígido que podrían explicar por qué el centro de masa es "especial":

   • Una traslación pura se logra mediante una fuerza a través del centro de masa.
   • Un par de torsión puro hará girar un cuerpo alrededor de su centro de masa (afirmación doble a la anterior)
   • Una traslación pura no produce momento angular
   • Un cuerpo con solo momento angular rotará alrededor de su centro de masa (afirmación dual a la anterior)

6. Todas sus preguntas pueden ser respondidas a partir de las siguientes relaciones fundamentales:

   • El tornillo de movimiento del cuerpo rígido (en el centro de masa) está definido por

     $$v_C = \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C \end{pmatrix}$$ dónde$\vec{v}_C$es la velocidad lineal del cm y$\vec{\omega}$la velocidad angular del cuerpo.

   • El tornillo de cantidad de movimiento de un cuerpo rígido está definido por

     $$\begin{aligned} L_C & = I_C v_C \\ \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_C \end{pmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 & m \\ \bar{I}_C & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} m \vec{v}_C \\ \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   • La suma de los tornillos de fuerza/momento es igual a la derivada del tiempo del tornillo de momento

     $$\begin{aligned} \sum f & = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} L_C \\ \sum \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_C \end{pmatrix} & = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \begin{pmatrix} m \vec{v}_C \\ \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \vec{a}_C \\ \bar{I}_C \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

7. El tornillo de movimiento tiene las siguientes propiedades geométricas:

   • Dirección:$\vec{e} = \frac{ \vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$
   • Centro de rotación (con respecto a C ):$\vec{r} = \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_C}{\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}}$
   • Paso (traslación paralela por rotación)$h = \frac{ \vec{\omega} \cdot \vec{v}_C}{\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}}$

8. El tornillo de fuerza tiene las siguientes propiedades geométricas:

   • Dirección:$\vec{e} = \frac{ \vec{F}}{|\vec{F}|}$
   • Posición del eje de fuerza (con respecto a C ):$\vec{r} = \frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_C}{\vec{F} \cdot \vec{F}}$
   • Paso (par paralelo por fuerza)$h = \frac{ \vec{F} \cdot \vec{\tau}_C}{\vec{F} \cdot \vec{F}}$

9. De manera similar para el tornillo de impulso. La ubicación del eje de momento$\vec{r} = \frac{\vec{L}\times\vec{H_C}}{\vec{L} \cdot \vec{L}}$es donde un impulso puro va a resultar en una rotación pura alrededor de A. Esto también se conoce como el eje de percusión.

10. Finalmente, las leyes de transformación de los tornillos, pueden mover las cantidades desde el centro de masa C a otro punto A tal que

    $$\begin{aligned} v_A & = X_{AC} v_C \\ \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{\omega} \end{pmatrix} \\ L_A & = X_{AC} L_C \\ \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{L} \end{pmatrix} \\ f_A & = X_{AC} f_C \\ \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{F} \end{pmatrix} \end{aligned}$$ con $$X_{AC} = \begin{bmatrix} \bf{1} & \bf{0} \\ \vec{r}_{AC}\times & \bf{1} \end{bmatrix}$$ la matriz de transformación de tornillo de 6 × 6.

Cuando note todas las similitudes entre los tornillos de movimiento, fuerza y ​​momento, puede comenzar a comprender la geometría detrás del movimiento del cuerpo rígido.