¿Un modelo simple que exhibe simetría emergente?

En una pregunta anterior sobre simetrías emergentes que hice, el profesor Luboš Motl dijo que las simetrías emergentes nunca son exactas . Pero me pregunto si el siguiente ejemplo es un contraejemplo que tiene una simetría rotacional de espín emergente exacta .

Solo considere el modelo Ising más simple para dos sistemas spin-1/2 H = σ 1 z σ 2 z , tiene dos estados fundamentales, uno de ellos es spin-singlete | ↑↓> − | ↓↑> que posee simetría rotacional de espín, mientras que el hamiltoniano original la rompe explícitamente.

Y quiero saber si alguien conoce algunos ejemplos simples de que todos los estados fundamentales tienen la simetría emergente mientras que el hamiltoniano no la tiene.

Por cierto, recuerdo que el profesor Xiao-gang Wen dijo que una diferencia clave entre la " degeneración topológica " y la "degeneración ordinaria" es que la degeneración topológica es generalmente aproximada, mientras que la degeneración ordinaria es exacta. Si las simetrías emergentes son generalmente aproximadas, ¿existen algunas conexiones entre la degeneración topológica y las simetrías emergentes?

Comentarios : Los dos estados fundamentales del ejemplo de Ising anterior son degenerados. Me pregunto si podría ocurrir una simetría emergente para un estado propio no degenerado. Por ejemplo, si un estado propio de un hamiltoniano no es degenerado, entonces este estado propio debe conservar todas las simetrías del hamiltoniano, y ¿existe alguna posibilidad de que este estado propio tenga una simetría adicional que esté ausente en el hamiltoniano? ¿Alguien conoce algún ejemplo de este tipo?

Gracias de antemano.

Que tal este: H = S 1 z S 2 z + 1 4 ( S 1 z + S 2 z ) . El segundo término rompe la degeneración de los estados excitados en su modelo. El operador S 1 + S 2 + + S 1 − S 2 − no conmuta con el hamiltoniano, pero los dos estados fundamentales son sus estados propios. Mi lógica es construir un operador de simetría que conmute con el hamiltoniano solo en el subespacio de los estados fundamentales.
Estoy pensando en la cadena Haldane antiferromagnética unidimensional (con condición de límite abierta). El estado fundamental es 4 veces degenerado solo en el límite termodinámico. Eso significa que la diferencia de energía entre un estado con giro total 0 y un estado con giro total 1 se vuelve cero en el límite termodinámico. Me pregunto cómo obtenerlo desde el punto de vista de la simetría.
@Tengen: Los estados básicos en su modelo son los mismos que los míos, me pregunto si existen modelos simples cuyos estados básicos tengan simetrías emergentes.
Mi modelo es un ejemplo. El subespacio de estado básico está atravesado por | ↑↓ ⟩ y | ↓↑ ⟩ . Todos tienen la simetría que definí anteriormente. Pero sólo un subespacio unidimensional atravesado por | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ tiene simetría de rotación de espín.
@Tengen: Oh, entiendo lo que quieres decir ahora. Tiene razón, los dos estados básicos son definitivamente estados propios del operador de simetría que definió, pero con valores propios ceros , lo que significa que los estados básicos desaparecerían una vez que el operador de simetría actúe sobre ellos. Entonces, en este caso, ¿podemos decir que el ¿Los estados fundamentales son simétricos bajo la operación que definiste?
@Tengen: lo que es más importante, creo que el operador de "simetría" que definió de hecho no representa ninguna simetría, porque ni siquiera puede invertirse, lo que significa que no puede ser un operador unitario o antiunitario. Y su significado físico no está claro.
@Tengen: Tal vez no entendí bien su explicación. Deje que A sea el operador que definió, luego exp (i A ) puede ser un operador de simetría, ¿quiso decir esto? Si es así, ¿cuál es el significado físico de esto?
Decimos que un subespacio tiene una simetría si soporta una representación del grupo de simetría. Todo lo que estamos hablando aquí es el generador de la transformación de simetría, no el grupo en sí. El valor propio cero no es un problema (si lo desea, puede sumar cualquier número distinto de cero al operador de simetría). Piensa en la simetría rotacional del espín: el espín total también puede ser cero.
Sí, tiene usted razón. Quizá ningún significado físico. Acabo de construirlo para cumplir con sus requisitos.
@Tengen: Sí, ahora estoy de acuerdo contigo, cometí un malentendido. Entonces, ¿sabes el significado físico de esto?
@Tengen: Ok, ya veo, realmente nos das un ejemplo de lo que quiero, aunque su significado físico no está claro temporalmente. Gracias de todos modos.
Puedes construirlos fácilmente tantos como quieras. Como dije antes, todo lo que necesitas es construir un operador de simetría que conmute con el hamiltoniano solo en el subespacio de los estados fundamentales.
@Tengen: Sí, así es
@Tengen: Para la cadena Haldane que mencionaste, no sabía mucho al respecto. Pero quiero saber si toma condiciones de contorno periódicas, ¿son los estados fundamentales exactamente degenerados para sitios de celosía finitos? ¿Qué causa la degeneración del estado fundamental en la cadena de Haldane, la topología o la simetría del sistema? Si es la topología, ¿estos estados básicos topológicos están protegidos por algunas simetrías?
El estado fundamental no es degenerado si toma una condición de contorno periódica. Es un ejemplo de estado topológico protegido por simetría. La simetría es la simetría rotacional de espín SO(3) para espín integral.

Respuestas (2)

El modelo más simple es la cadena spin-1/2 con interacción Majumdar-Ghosh :

H = ∑ i PAG 3 / 2 ( i − 1 , i , i + 1 ) ,
dónde PAG 3 / 2 ( i , j , k ) es el operador de proyección que proyecta un estado en el subespacio con un giro total de 3/2 en los sitios i , j , k . Los estados fundamentales son dos estados dímeros (consulte la figura en el modelo de wikipedia Majumdar-Ghosh ):
| ψ 1 ⟩ = ∏ i | s i norte gramo yo mi t ⟩ 2 i , 2 i + 1 ,
| ψ 2 ⟩ = ∏ i | s i norte gramo yo mi t ⟩ 2 i − 1 , 2 i .

Si definimos la transformación de simetría tu ( i , j ) = Exp ⁡ ( i a i j PAG 0 ( i , j ) ) dónde PAG 0 ( i , j ) es el operador de proyección singlete, entonces

tu ( 2 i , 2 i + 1 ) | ψ 1 ⟩ = Exp ⁡ ( i a 2 i , 2 i + 1 ) | ψ 1 ⟩ ,
tu ( 2 i − 1 , 2 i ) | ψ 2 ⟩ = Exp ⁡ ( i a 2 i − 1 , 2 i ) | ψ 2 ⟩ ,
para cualquier i . En otras palabras, | ψ 1 ⟩ admite una representación unidimensional del grupo tu ( 2 i , 2 i + 1 ) (cualquier i ) que no es una simetría del hamiltoniano original. similares para | ψ 2 ⟩ . Son exactamente esas simetrías emergentes las que hacen que este modelo sea soluble.

Se pueden encontrar ejemplos más sofisticados aquí: 0207106 .

Gracias por su respuesta. Pero no puedo entender su explicación claramente porque su lenguaje me parece un poco difícil. ¿Quiere decir que los dos estados fundamentales del dímero del modelo MG tienen la misma simetría? tu ( i , j ) mientras que el hamiltoniano H no tiene?
He modificado la respuesta, por favor, eche un vistazo.
De acuerdo. ¿Qué tal la superposición de los dos estados dímeros? Por ejemplo, si el estado fundamental ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 sigue siendo un estado propio de tu ( i , j ) ? Muchas gracias.
Y me gusta mucho su última oración " Son exactamente esas simetrías emergentes las que hacen que este modelo sea soluble ", ya que este puede ser uno de los hechos que haría que las simetrías emergentes fueran importantes en la física.
No. Hay norte tu ( 1 ) grupos: tu ( i , i + 1 ) , i = 1 , 2 , . . . , norte . | ψ 1 ⟩ es invariable bajo las acciones de la mitad de sus grupos, y | ψ 2 ⟩ la otra mitad.

Creo que el ejemplo más simple está muy relacionado con su sugerencia del modelo Ising de dos sitios. En su lugar, considere la cadena XX de dos sitios:

H = σ 1 X σ 2 X + σ 1 y σ 2 y .
Claramente el hamiltoniano tiene tu ( 1 ) simetría (generada por σ 1 z + σ 2 z ) pero NO tiene full S tu ( 2 ) simetría. Sin embargo, su estado fundamental (¡único!) es el singlete de espín
| ψ gs ⟩ = 1 2 ( | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ − | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ ) .
Por lo tanto, su estado fundamental único tiene un emergente S tu ( 2 ) simetría.

Genial, gracias
Aquí tal vez otros ejemplos simples. Considere un hamiltoniano de fermiones de celosía H = ∑ i m i norte ^ i , donde el sitio dependiente m i > 0 para cada sitio. Entonces su estado fundamental único (el estado de vacío) | 0 ⟩ tiene una simetría de traslación emergente . De manera similar, podemos agregar términos de salto de ruptura de inversión de tiempo al hamiltoniano y elegir un potencial químico lo suficientemente fuerte (uniforme) tal que | 0 ⟩ es el estado fundamental único con simetría de inversión de tiempo emergente. Pero creo que estos ejemplos son algo triviales.
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