Modelo de electrones casi libres y esquema de zona reducida

Preámbulo :

La relación de dispersión para un potencial periódico siempre es periódica en sí misma. es decir, si$E_k$es un valor propio de energía para el vector de onda$k$en una red con tamaño de celda$a$, entonces

$$E_{k + G} = E_k, \;\;\;\forall k,\;G = \frac{2\pi}{a}n\;\;\text{(G vector of the reciprocal lattice)}$$ que se sigue directamente de la simetría traslacional del hamiltoniano. Para ver esto, deja $\psi(x)$sea ​​una función propia del hamiltoniano. La simetría traslacional significa que (teorema de Bloch) $$\psi(x+a) = e^{ika}\psi(x)$$ para algún vector de onda $k$, y que cualquier función propia que se comporte como arriba bajo traducción corresponde al mismo valor propio $E_k$. Entonces, las funciones propias correspondientes también están indexadas por $k$(y otros números cuánticos, por ejemplo, espín), $\psi_k(x)$.

Ahora deja$\psi_{k+G}(x)$ser una función propia correspondiente al valor propio de la energía$E_{k+G}$. Luego, por simetría traslacional nuevamente,

$$\psi_{k+G}(x+a) = e^{i(k+G)a}\psi_{k+G}(x) = e^{ika}\psi_{k+G}(x)$$ Lo que significa que $\psi_{k+G}(x)$debe corresponder al valor propio $E_k$, y entonces $E_{k+G} = E_k$. Como nota al margen, de la simetría de inversión de tiempo también se deduce que $E_k = E_{-k}$.

La primera zona de Brillouin destaca un primer período en$E_k$, configurando$-\pi \le ka \le \pi$. Si hay$N$partículas en la red, entonces hay$N$valores distintos de$k$en la primera zona de Brillouin. Se puede demostrar que las relaciones$E_{k+G} = E_k$,$E_k = E_{-k}$implicar$\frac{dE_k}{dk} = 0$en$k=\frac{\pi}{a}n$,$\;n=0,\pm1,\pm2,\dots$, eso es,$E_k$tiene extremos en el centro y en los bordes de las zonas de Brillouin, donde la relación de dispersión se puede aproximar como parabólica,$E_k \sim \pm k^2$. En el modelo de electrones casi libres , esta aproximación parabólica se convierte, alrededor del centro de la primera zona de Brillouin, en$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$.

Respuesta corta a la pregunta :

La razón por la que esta periodicidad no está explícita en expresiones como$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$es que la complejidad de los niveles de energía, o bandas de energía, en el sistema periódico se puede describir en 3 esquemas diferentes . La representación descrita anteriormente, utilizando$E_k = E_{k+G}$y mostrando todos los niveles de energía (bandas) en todas las regiones del espacio del vector de onda, es el llamado esquema de zona periódica . La representación usando$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$muestra todas las bandas en la primera zona de Brillouin solamente y se conoce como el esquema de zona reducida . También existe el esquema de zona extendida , que se muestra en la otra respuesta, que muestra diferentes bandas en diferentes zonas de Brillouin, con discontinuidades en los bordes de la zona.

Puede encontrar una muy buena descripción de los 3 esquemas de representación en la Fig. 8, pág. 25 de estas notas sobre el Teorema de Bloch y las Bandas de energía . La conferencia también contiene una gran introducción a las bandas de energía en los sistemas periódicos a partir de los principios de simetría (traslación, paridad, inversión del tiempo, etc.).

Las vibraciones mecánicas de la cadena atómica periódica y el movimiento de electrones en campos periódicos son problemas bastante diferentes, aunque tienen características similares relacionadas con las condiciones de frontera periódicas. La frecuencia de la cadena diatómica tiene un límite superior que depende del acoplamiento interatómico. La energía de los electrones no tiene un límite superior, ya que puede excitar electrones a niveles arbitrarios de alta energía cuya función de onda satisfaga las condiciones de contorno periódicas.

En otras palabras, la cadena diatómica tiene solo dos posibles modos de vibración, mientras que el electrón tiene un número infinito de tales modos, cada uno de los cuales corresponde a un nivel de energía de átomos aislados que forman una estructura periódica.

Por lo tanto, la ley de dispersión para electrones que se mueven en campos periódicos no es periódica y posee una forma ilustrada en la figura a continuación.