¿El teorema de Bohr van Leeuwen también se aplica al ferromagnetismo?

Una búsqueda rápida en Google lleva inmediatamente a la página de wikipedia sobre este teorema en particular. El primer párrafo de esta página dice:

El teorema de Bohr-van Leeuwen es un teorema en el campo de la mecánica estadística. El teorema establece que cuando la mecánica estadística y la mecánica clásica se aplican de manera consistente, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. Esto hace que el magnetismo en los sólidos sea únicamente un efecto mecánico cuántico y significa que la física clásica no puede explicar el diamagnetismo, el paramagnetismo o el ferromagnetismo.

El teorema se aplica a cualquier forma de magnetismo. Continuando con la lectura de la misma página de wikipedia, que proporciona una prueba tanto intuitiva como más formal, uno ve que el argumento se reduce formalmente a mostrar que el promedio térmico del momento magnético$\mu$es cero:

$$\langle \mu \rangle=0$$

Esto se hace sin suposiciones sobre el origen del momento magnético.$\mu$. Ahora reproduciré otra prueba, que se encuentra en varios libros de texto.

Considere un$N$-sistema de partículas con solo partículas con carga$e$y masa$m$(la prueba se generaliza fácilmente). Definimos el (promedio térmico de la) magnetización como

$$\langle \mu \rangle=\left\langle -\frac{\partial F}{\partial B}\right\rangle$$ Dónde $F=-T\ln Z$es la energía libre, y $Z$es la función de partición. La función de partición clásica es $$Z=\int d\vec{p}_1\dots d\vec{p}_N\int d\vec{r}_1 \dots d\vec{r}_N\ e^{-\beta H}$$ Dónde $H$es el hamiltioniano clásico. En presencia de un campo magnético, tenemos $$H=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{N}\biggl(\vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i\biggr)^2+eV(\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N)$$ Al hacer la sustitución $\vec{p}_i\to \vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i$en cada integral sobre los momentos podemos eliminar completamente la dependencia de $Z$en $\vec{A}_i$y por lo tanto en el campo magnético $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$. Por lo tanto, $F$no depende de $B$ya sea, y $$\langle \mu \rangle= \left\langle -\frac{\partial F}{\partial B}\right\rangle=0$$

En conclusión, el teorema de Bohr-van Leeuwen muestra que el magnetismo no se puede explicar de forma clásica, independientemente del origen de la magnetización. Al aplicar un campo magnético y permitir que un sólido alcance el equilibrio térmico, no puede haber magnetización neta (clásicamente). En particular, también descarta el ferromagnetismo clásico.

Espero que se hayan despejado las dudas sobre el cambio de variables de integración que elimina el vector potencial. El punto clave es que, para cada coordenada${\bf x}_i$, un cambio de variable de momento${\bf p^{\prime}}_i= {\bf p}_i -{\bf A({\bf x}_i)}$hace que desaparezca el término potencial vectorial, debido a los límites de integración ilimitados en los momentos.

Sin embargo, la generosidad reciente sobre esta pregunta llama la atención sobre algunos aspectos incompletos de la respuesta existente con respecto a la pregunta original.

En cuanto a la prueba formal de las consecuencias del teorema BvL, todo está bien. Donde la respuesta no es satisfactoria es cuando las consecuencias del teorema se extienden a todas las formas de magnetismo. En particular al ferromagnetismo (que era el tema de la pregunta original).

Es cierto, y sigue siendo cierto, que el ferromagnetismo real no puede explicarse de forma autoconsistente utilizando únicamente la mecánica clásica, el electromagnetismo y la mecánica estadística clásica. Pero la razón no tiene nada que ver con el teorema BvL.

Para entender este punto es necesario recordar la explicación moderna (mecánica cuántica) del ferromagnetismo . Se basa en dos ingredientes clave:

1. interacción electrostática;
2. antisimetría de la función de onda electrónica (es decir, el principio de Pauli).

Por lo tanto, está claro que el ingrediente n.$2$falta en cualquier explicación puramente clásica, de acuerdo con la conclusión de que en un mundo puramente clásico sería imposible proporcionar una explicación consistente del ferromagnetismo.

También está claro que, dado que el origen del momento magnético de espín electrónico no es el movimiento orbital , y entonces su origen no tiene nada que ver con un hamiltoniano de una partícula puntual sin espín como la presente en la respuesta de Danu, el teorema BvL no dice nada sobre el ferromagnetismo .

Una palabra final de precaución está en orden. El resultado de un cuidadoso análisis del origen de los efectos magnéticos en la materia condensada exige la mecánica cuántica, como ingrediente clave para proporcionar una explicación consistente del origen y comportamiento de los efectos magnéticos. Sin embargo, como suele suceder en la física, uno podría estar interesado en modelar el comportamiento de los sistemas magnéticos, sin ninguna solicitud de describir al mismo tiempo el origen del magnetismo. Y, de hecho, la mecánica estadística clásica se puede aplicar rutinariamente para describir las transiciones para/ferromagnéticas, sobre la base de la mecánica estadística puramente clásica (piense, por ejemplo, en el prototipo de todos los modelos magnéticos, el modelo de Ising).